Применение дистанционного обучения при изучении курса сферической геометрии (стр. 3 из 16)
а) б)
Рис 10
Так как полюсы D и E больших окружностей AB и AC представляют собой точки большой окружности ВС, полученные из точек В и С поворотом вокруг прямой АА' на прямой угол, то дуга ВС равна дуге DE и угол ВАС равен длине дуги DE, делённой на радиус сферы. Заменяя одну из точек D или Е её диаметрально противоположной точкой D' или E' (рис.11), мы получим угол, смежный с углом ВАС. Таким образом, угол между двумя большими окружностями равен длине дуги, соединяющей их полюсы, делённой на радиус сферы.
Рис 11
Так как при отражении от диаметральной плоскости полюсы большой окружности, высекаемой из сферы этой плоскостью, переходят друг в друга, то большие окружности, проходящие через эти полюсы, при указанном отражении переходят в себя (рис.12). Поэтому углы, составляемые этими большими окружностями с большой окружностью, высекаемой плоскостью, равны углам, смежным с ними и, следовательно, являются прямыми углами. Таким образом, большие окружности, одна из которых проходит через полюс другой, пересекаются под прямым углом. Будем называть такие большие окружности перпендикулярными.
Рис 12
Обратно, отметив на одной из двух перпендикулярных больших окружностей точку, полярно сопряжённую точке пересечения, мы получим такую точку, что проведённый в нее радиус сферы перпендикулярен диаметральной плоскости, высекающей из сферы вторую большую окружность (рис.13), т.е. точку, являющуюся полюсом этой окружности. Поэтому каждая из двух перпендикулярных больших окружностей проходит через полюс другой большой окружности.
Рис 13 Рис 14
Отсюда следует, что большая окружность, являющаяся полярой точки пересечения двух больших окружностей, перпендикулярна обеим большим окружностям, т.е. две большие окружности всегда обладают единственной большой окружностью, перпендикулярной к ним обеим (рис.14). Для сравнения заметим, что на плоскости общими перпендикулярами обладают только параллельные прямые, причём две параллельные прямые обладают не одним, а бесконечным множеством общих перпендикуляров.
2.5. Понятие движение
Движением сферы называется такое преобразование сферы, при котором сохраняется расстояния между точками. Иными словами, преобразование j сферы является движением, если для любых точек А,В сферы расстояние между точками j(А) и j(В) равно расстоянию между точками А и В. Так как две точки А и В в том и только том случае являются диаметрально противоположными, если расстояние между ними имеет наибольшее возможное значение, равное 2R (где R – радиус сферы), то из определения движения непосредственно следует, что при любом движении сферы диаметрально противоположные точки сферы переходят в диаметрально противоположные точки. Это свойство также не имеет аналога в плоской геометрии, так как на плоскости нет таких пар точек, что движение одной из этих точек вполне определяет движение второй. Поэтому, если движение плоскости является преобразованием множества точек этой плоскости, то движение сферы по существу является преобразованием множества пар диаметрально противоположных точек сферы.
Рис 15 Рис 16
В качестве примера движения сферы укажем поворот сферывокруг некоторого ее диаметра СС' на угол a, при котором каждая окружность сферы, имеющая линию СС' своей осью, поворачивается по себе на угол a (рис.15). Другим примером движения сферы является симметрия сферы относительно некоторой ее диаметральной плоскости p, при которой каждая точка А переходит в такую точку А', что плоскость p перпендикулярна отрезку АА' и проходит через его середину (рис.16). Поворот и симметрия являются в некотором смысле основными движениями сферы; именно можно доказать, что всякое (нетождественное) движение сферы либо является поворотом, либо является симметрией, либо представляет собой произведение поворота и симметрии.
2.6. Предмет сферической геометрии.
Сферическая геометрия изучает те свойства фигур на сфере, которые сохраняются при любых движениях сферы. Фигуры на сфере, которые могут быть переведены одна в другую некоторым движением сферы, называются равными фигурами, геометрические свойства равных фигур одинаковы.
а) б)
Рис 17
Иногда предмет сферической геометрии определяется иначе. Именно вместо движений, определённых выше рассматриваются только повороты сферы и изучаются те свойства фигур, которые сохраняются при поворотах. Фигуры, переходящие друг в друга при некотором повороте, называют в этом случае равными. Фигуры же, которые переходят друг в друга при движении, но не могут быть совмещены поворотом, равными не считают; такие фигуры называют симметричными. Так, на рис. 17,а изображены равные фигуры, а на рис.17,.б – симметричные фигуры.
2.7. Принцип двойственности.
Мы видели, что любое движение сферы переводит пару диаметрально противоположных точек снова в пару диаметрально противоположных точек. Таким образом, пара диаметрально противоположных точек является в сферической геометрии самостоятельным геометрическим объектом. Отметим одно замечательное свойство этих пар точек: всякой теореме сферической геометрии соответствует другая теорема этойгеометрии, получающаяся из первой взаимной заменой слов: «пара диаметрально противоположных точек» и «большая окружность», «лежит на» и «проходит через», «соединяются» и «пересекаются на» и т.д. Например:
Всякие две большие окружности на сфере пересекаются в одной
паре диаметрально противопо-ложных точек.
Всякие две пары диаметрально противоположных точек сферы соединяются одной большой окружностью
Это свойство теорем сферической геометрии является следствием того, что всякой большой окружности на сфере взаимно однозначно соответствует пара её полюсов, а всякой паре диаметрально противоположных точек сферы взаимно однозначно соответствует их поляра, причём если большая окружность проходит через пару диаметрально противоположных точек, то полюсы этой окружности лежат на поляре этой пары точек (рис.18). Это свойство называется принципом двойственности, а теоремы, получающиеся друг из друга указанной заменой, называются двойственными друг другу теоремами. Если одна из двух двойственных теорем доказана, то доказательство второй теоремы может быть получено из доказательства первой теоремы переходом от каждой большой окружности к ее полюсам, а от каждой пары диаметрально противоположных точек – к ее поляре.
Рис 18
3.1. Треугольники и двуугольники на сфере.
Возьмём на сфере три точки А, В, С, не лежащие в одной плоскости с центром О данной сферы. Совокупность этих точек и дуг АВ, ВС, и АС больших окружностей (меньшие полуокружности) называется сферическимтреугольником АВС. Точки А, В, С называются вершинами сферического треугольника, а дуги АВ, ВС и АС – его сторонами. Углы, образуемые сторонами сферического треугольника в его вершинах, называются углами сферического треугольника. Ясно, что сферический треугольник можно получить с помощью трёхгранного угла, если пересечь его сферой, центр которой будет совпадать с вершиной данного угла. В самом деле, в пересечении сферы с гранями данного трёхгранного угла мы получим сферический треугольник.
В отличии от плоскости, где треугольник является многоугольником с наименьшим числом сторон, на сфере имеются многоугольники с числом сторон меньше трёх – двуугольники. Двуугольником является часть сферы, ограниченная двумя половинами больших окружностей с общими концами; эти общие концы, называемые вершинами двуугольника, являются диаметрально противоположными точками сферы.
Биссектрисой сферического треугольника называется большая окружность, делящая пополам один из его углов, а также дуга этой большой окружности, имеющая своими концами вершину треугольника и точку пересечения большой окружности с противолежащей стороной. Медианой сферического треугольника называется большая окружность, проходящая через одну из его вершин и через середину противолежащей стороны. Высотой сферического треугольника называется большая окружность, проходящая через одну из его вершин и перпендикулярная к противолежащей стороне, а также одна из двух дуг этой большой окружности, имеющих своими концами данную вершину треугольника и точки пересечения с противолежащей стороной. Если углы сферического треугольника при двух других его вершинах оба острые или оба тупые, то за высоту естественно принять дугу, лежащую внутри треугольника. Если же из двух углов при двух других вершинах один острый, другой тупой, то обе дуги, о которых идёт речь, проходят вне сферического треугольника; в этом случае за высоту естественно принять дугу, меньшую квадранта. Наконец, понятие высоты сферического треугольника, выходящей из данной вершины, теряет смысл, если углы при двух других вершинах оба прямые: в этом случае всякая большая окружность, проходящая через данную вершину, перпендикулярна противолежащей стороне.