Применение дистанционного обучения при изучении курса сферической геометрии (стр. 2 из 16)

«Предложение одиннадцатое. Внешний угол всякой трёхсторонней фигуры меньше обоих противолежащих ему внутренних углов.

Теоремы Менелая: Особую роль в истории сферической геометрии и тригонометрии сыграло предложение 1 книги III сочинения Менелая, в которой доказывается как плоский, так и сферический случай теоремы, называемой в настоящее время «теоремой Менелая» или «теоремой о полном четырёхстороннике». Полным четырёхсторонником называется плоский или сферический четырёхугольник, пары противоположных сторон которого продолжены до пересечения.

Сферическая теорема Менелая изложена у Птолемея следующим образом: «Опишем на поверхности сферы дуги больших кругов так, чтобы проведённые к двум начерченным дугам АВ и АС две другие дуги ВЕ и СD пересекались в точке G; пусть каждая из этих дуг меньше полуокружности; то же будем предполагать и для всех таких построений. Я утверждаю, что отношение прямой под удвоенной дугой СЕ к прямой под удвоенной ЕА составлено из отношения прямой под удвоенной CG к прямой под удвоенной GD и отношения прямой под удвоенной DB к прямой под удвоенной ВА.»

Площадь сферического треугольника и многоугольника у Жирара. Выражение площади сферического треугольника и многоугольника через их угловые избытки впервые появилось в печати в статье «О мере поверхности сферических треугольников и многоугольников, открытой вновь», опубликованной в виде приложения к «Новому открытию в алгебре» фламандского математика Альбера Жирара.(1595-1632).

Основные теоремы сферической тригонометрии были открыты учеными средневекового Востока. Соотношения, выражаемые теоремой косинусов, были установлены сирийским математиком и астрономом IX века ал-Баттани, выходцем из семьи звездопоклонников - сабиев, у которых в течение многих веков сохранялись вавилонские астрономические традиции. Сферическая теорема синусов была открыта почти одновременно среднеазиатскими математиками и астрономами X века Ибн Ираком из Хорезма, Абу-л-Вафой из Хорасана и ал-Ходжанди из Ходжента. Соотношения, выражаемые двойственной теоремой косинусов, были установлены (с помощью полярного треугольника) в XIII веке работавшим в Азербайджане Насир-ад-дином ат - Туси, давшим первое полное изложение всей системы сферической тригонометрии.

§2 Основные понятия сферической геометрии.

2.1. Сфера, большая и малая окружности.

Сферой называется геометрическое место точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки, называемой её центром.

Отрезок, соединяющий центр сферы с какой-либо его точкой, называется радиусом сферы. Отрезок, соединяющий де точки сферы и проходящий, кроме того, через его центр, называется диаметром. Из определения следует, что все радиусы равны и что диаметр равен удвоенному радиусу. Плоскость, проходящая через центр сферы, называется диаметральной плоскостью.

Пусть S-некоторая сфера с центром O радиуса R. Возьмём плоскость a, удалённую от точки Oна расстояние, меньшее R. Тогда пересечения плоскости a и сферы S есть окружность. Радиус r этой окружности является катетом прямоугольного треугольника (рис.1), гипотенуза которого – радиус R, а второй катет – перпендикуляр h, опущенный из центра сферы на плоскость. Поэтому в силу теоремы Пифагора r =

Рис 1

Эта формула показывает, что величина r принимает максимальное значение r=R при h=0, то есть является диаметральной плоскостью. В этом случае окружность на сфере и называется большой окружностью. В геометрии на сфере большие окружности играют роль прямых на плоскости. При h>0 мы имеем r<R, окружность на сфере называется в этом случае малой окружностью.

Так как через всякие три точки пространства, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость, то через всякие две точки сферы, не являющиеся диаметрально противоположными проходит единственная диаметральная плоскость. Поэтому через всякие две точки сферы, не являющиеся диаметрально противоположными, проходит единственная большая окружность (рис.2). Этот факт вполне аналогичен тому, что на плоскости через всякие две точки проходит единственная прямая. Через две диаметрально противоположные точки сферы, напротив, можно провести бесконечное множество больших окружностей (рис.3). Так как всякие две диаметральные плоскости сферы пересекаются по её диаметру, то всякие две большие окружности пересекаются в двух диаметрально противоположных точках сферы (рис.4). Здесь мы наблюдаем отличие сферической геометрии от плоской геометрии, в которой две прямые пересекаются не более чем в одной точке.

Рис 2 Рис 3

Так как плоскость делит пространство на две области, то большая окружность делит сферу на две области (рис.2); эти области называются полусферами, а сама окружность – краем этих полусфер. Далее, так как две пересекающееся плоскости делят пространство на четыре области, то две большие окружности делят сферу на четыре области (рис.4). Наконец, так как три плоскости, пересекающиеся в одной точке, делят пространство на восемь областей, то три большие окружности, не пересекающиеся в однойточке, делят сферу на восемь областей (на рис.5 изображены восемь областей ABC, ABC¢, AB¢C, A¢BC, AB¢C¢, A¢BC¢, A¢B¢C, A¢B¢C¢, на которые делят сферу большие окружности AB, AC и BC, причём точки A¢,B¢,C¢ диаметрально противоположны точкам A,B,C и, следовательно, области ABC и A¢B¢C¢, ABC¢ и A¢B¢C, AB¢C и A¢BC¢, A¢BC и AB¢C¢ попарно диаметрально противоположны).

Рис 4 Рис5

Если первые два из этих свойств аналогичны свойствам прямых на плоскости, которая делится на две области прямой и на четыре области двумя пересекающимися прямыми, то третье из указанных свойств не вполне аналогично соответствующему свойству прямых на плоскости, так как три попарно пересекающиеся прямые, не проходящие все три через одну точку, делят плоскость не на восемь, а на семь частей (рис.6).

Рис 6

2.2. Расстояние между точками.

Возьмём две точки A,BÎS и рассмотрим большую окружность Q, проходящую через эти точки (рис.7). Окружность Q является объединением двух своих дуг ÈAMB и ÈANB с концами в точках A и B. Длина той из двух дуг, которая не больше полуокружности, называется сферическим расстоянием между точкам A и B и обозначается через d(A,B). Следовательно, для любых дух точек сферы S имеем d(A,B)≤pr.

Рис. 7

Пусть ÈAMBÌQ меньше полуокружности, и, значит, d(A,B) – длина этой дуги. Обозначим через a величину центрального угла AOB, опирающегося на дугу AMB, и через r(A,B) длину отрезка AB. Как известно,

d(A,B)=ar. (1)

Из треугольника AOB (рис.7) находим:

r(A,B)=2rsin(

) (2)

Из формул (1),(2) следует:

r(A,B)=2rsin (

). (3)

2.3. Полюс и поляра.

Всякой большой окружности соответствует две диаметрально противоположные точки сферы, высекаемые из неё диаметром, перпендикулярным к плоскости большой окружности (рис.8). Эти две точки называются полюсами большой окружности; в частности, полюсами экватора Земли являются её географические полюсы – Северный и Южный. Очевидно, что каждым двум диаметрально противоположным точкам А и В на сфере соответствует единственная большая окружность, для которой точки А и В являются полюсами; эта большая окружность называется полярой пары диаметрально противоположных точек А и В. Каждая точка поляры называется полярно сопряжённой с каждым из её полюсов; иначе говоря, точки P,Q сферы являются попарно сопряжёнными, если радиусы OP и ОQ перпендикулярны (О – центр сферы). Понятно, что все точки поляры удалены от своего полюса на расстояние, равное

(или квадранту).

Рис 8

2.4. Угол на сфере.

Углом между двумя пересекающимися линиями в пространстве называется угол между касательными к этим линиям в точке их пересечения. Частным случаем общего понятия угла между двумя линиями является угол между двумя большими окружностями на сфере. На рис. 9 изображён угол BAC между большими окружностями АВ и АС на сфере и измеряющий этот угол XAY между касательными AX и AY к этим большим окружностям.

Рис 9

Если мы проведём большую окружность, являющуюся полярой вершины А угла на сфере и пересекающую стороны этого угла в точках В и С, то лучи ОВ и ОС соответственно параллельны лучам AX и AY, касательным к сторонам угла (рис. 9). Поэтому длина угла большой окружности ВС равна произведению ÐВАС на радиус сферы, т.е. угол на сфере равен длине дуги большой окружности между точками сторон угла, полярно сопряжёнными с вершиной угла, делённой на радиус сферы.

Так как оба угла ВАС и ВА'С, образованные двумя полуокружностями при их различных концах, равны одному и тому же углу ВОС, то эти углы равны между собой и величина каждого из них называется углом между двумябольшими полуокружностями. Две большие окружности определяют четыре угла между двумя полуокружностями, попарно равные друг другу. Те из этих углов, обе стороны которых являются продолжениями сторон другого угла, равны и называются вертикальными углами (рис.10, а); те из этих углов, которые имеют одну общую сторону, составляют в сумме развёрнутый угол и называются смежными углами (рис. 10, б).