Применение дистанционного обучения при изучении курса сферической геометрии (стр. 14 из 16)
Рис.4 Рис.5
2) Пусть далее медиана AD сферического треугольника ABC (рис.5) меньше квадранта. Отложим опять на продолжении дуги AD за точку D дугу DE, равную AD. Тогда ∆ABD = ∆ECD будут равны (см. 1) ), и будут верны равенства (1) и (2). В этом случае дуга ADE=2AD будет меньше половины окружности большой окружности, и потому точка D будет лежать на стороне АЕ сферического ∆АСЕ. Если в данном треугольнике АВ>АС, то в ∆АСЕ будем иметь (в силу равенства ЕС=АВ) СЕ>АС. Отсюда следует, что ÐCAD>ÐCED (см. §2 зад. 7 части А), так что и силу равенства (1) ÐCAD>ÐBAD. Итак, если медиана треугольника меньше квадранта, то она образует с большей из двух сторон, между которыми она проходит, угол меньший, чем с другой стороной.
Далее в этом случае имеем ADE = 2AD<AC + CE= AB+АС, так что если медиана треугольника меньше квадранта, то она меньше полусуммы сторон, между которыми она проходит.
Пусть, как и выше, медиана АD сферического ∆ ABC (рис. 6) меньше квадранта и пусть для определенности сторона АВ > АС. В таком случае точка А отлична от полюсов большого круга ВС, и через неё проходит (теорема 4) единственная большая окружность IAH, перпендикулярная к ВС. Обозначим через I и H основания меньшей и большей перпендикулярных дуг AI и АН, опущенных из точки А на большую окружность ВС (теорема 5). Пусть далее К и L середины дуг, на которые точки I и H делят большую окружность ВС, так что каждая из дуг IK=КН = HL= LI равна квадранту. При этом точки К и L будут, очевидно, полюсами большой окружности IАН, и дуги AK = AL также будут равны квадранту.
Так как медиана АD по предположению меньше квадранта, то по теореме о сравнительной длине перпендикулярных и наклонных дуг (теорема 5) точка D лежит (рис. 6 и 7) между точкой I и одной из точек К и L, скажем К (точка D не может совпадать с I, так как в последнем случае треугольник ABC был бы равнобедренным). Далее, так как сторона ВС заведомо меньше половины большого круга, то дуга DB меньше квадранта. В то же время дуга DКН более квадранта, и потому точка Н не лежит на дуге ВС. Так как ÐBAD < ÐCAD, как было доказано выше, то биссектриса AM треугольника ABC проходит внутри ÐDAC, и точки Н,В, D,М и С следуют на большой окружности ВС в перечисленном здесь порядке. При этом точка С может лежать между точками B и I, как на рисунках 6 и 7, или же точка I - между точками В и С, как на рисунке 8. В последнем случае, в силу АВ > АС, будем иметь и ВI>IС, откуда ÐВАI> ÐСАI, так что точка М лежит между В и I. Итак, в обоих случаях точки H,B,D,M и I следуют на большой
Рис.6 Рис.7
окружности ВС в том именно порядке, как они здесь перечислены. Следовательно, имеем (в силу теоремы о длине наклонных дуг, теорема 5) AD > AM. Итак, если медиана AD меньше квадранта, то она больше биссектрисы AM угла ВАС.
Пусть в том же предположении, что медиана AD меньше квадранта, Во - точка, диаметрально противоположная точке В. Так как точка D лежит между I и К и дуга DB меньше квадранта, то точка В лежит на дуге IKH, а точка Во - на дуге ILH.
Пусть точка I лежит между точками С и Во (рис. 6 и 7). Так как точка D лежит между точками I и К и, кроме того, BD = DC, то дуга СI меньше дуги ВН и, значит, меньше дуги ВоI, равной ВН. Точки С и Во могут лежать и по одну сторону от точки I. Так как дуга ВС меньше полуокружности, то при этом точка С будет лежать между I и Во, и опять будем иметь СI< BоI.
Так как СI < ВоI, то и АС < АВо, и потому АВ+АС < АВ + АВо. Так как сумма дуг АВ + АВо равна полуокружности большой окружности, то отсюда следует, что если медиана треугольника меньше квадранта, то полусумма сторон, между которыми она проходит, также меньше квадранта.
Рис. 8
Случай, когда медиана АD больше квадранта подробно изложен в дистанционном курсе «Сферическая геометрия».3) Так как в каждом из трёх рассмотренных случаев мы имеем по одному условию - медиана соответственно а) равна квадранту, b) меньше квадранта и с) больше квадранта - и по нескольку заключений (первое заключение касается соотношения между медианой и биссектрисой, второе — углов между медианой и прилежащими сторонами, третье — соотношения между медианой и полусуммой сторон, наконец, четвёртое — соотношения между полусуммой сторон и квадрантом), то мы будем иметь целый ряд обратных теорем в зависимости от того, какой из трех случаев а), b) или с) мы имеем в виду и какое из заключений прямой теоремы мы примем за условие обратной теоремы.
Переходя к формулировкам теорем, обратных доказанным выше, будем объединять вместе обратные теоремы, аналогичные по своему содержанию. Таким образом, получается следующий перечень обратных теорем:
1) Если биссектриса сферического треугольника равна квадранту, то она одновременно служит и медианой того же треугольники.
В самом деле, пусть биссектриса AD сферического треугольника ABC (см. рис. 1) равна квадранту. Отложим опять на продолжении дуги AD за точку D дугу DE, равную АD. Так как дуга ADE равна полуокружности большого круга, то точки А, С и Е лежат на одном большой окружности, и потому ÐCED = ÐCAD= ÐBAD. Сферические треугольники ABD и CED будут равны (по второму признаку равенства), так как AD = ED; ÐADB= ÐEDC; ÐBAD = ÐCED. Отсюда BD=CD, т. e. AD - медиана ∆ ABC.
2) Если медиана сферического треугольника являетcя одновременно и биссектрисой того угла, из вершины которого она выходит, то или медиана равна квадранту, или треугольник равнобедренный.
3) Если медиана сферического треугольника образует с большей из двух сторон, между которыми она проходит, угол меньший (больший), чем с другой стороной, то медиана меньше (больше) квадранта.
4) Если медиана сферического треугольника больше (меньше) биссектрисы, выходящей с ней из одной вершины, то медиана меньше (больше) квадранта.
5) Если медиана сферического треугольника равна полусумме сторон (меньше, больше полусуммы сторон), между которыми она проходит, то медиана равна квадранту (меньше, больше квадранта).
6) Если полусумма двух сторон сферического треугольника равна квадранту (меньше, больше квадранта), то медиана, выходящая из общего конца, также равна квадранту (меньше, больше квадранта).
Так как в трёх прямых теоремах заключения охватывают все имеющиеся здесь возможности, то эти обратные теоремы 2) — 6) легко доказываются от противного.
Приведём доказательство одной из теорем, приведённых под рубрикой 3). Пусть в некотором треугольнике медиана больше биссектрисы. Если бы медиана была равна квадранту или больше его, то на основании прямых теорем медиана была бы равна биссектрисе или меньше её, что противоречит условию. Следовательно, медиана меньше квадранта.
Аналогично доказываются остальные обратные теоремы.
Сферические многоугольники.
1. Доказать, что сумма углов выпуклого сферического n-угольника больше (2n-4)d, где d – прямой угол.
2. Доказать, что если в выпуклом сферическом четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то диагонали делят друг друга на равные части. Точка их пересечения служит полюсом большой окружности, проходящей через точки пересечения противоположных сторон.
Решение: Пусть в выпуклом сферическом четырехугольнике AВCD (рис.9) противоположные стороны попарно равны: АВ = CD; ВС = AD.
Рис. 9
Имеем: ∆ABC = ∆CDA (по трём сторонам), и то же имеет место для треугольников ABD и CDB. Следовательно, противоположные углы данного четырехугольника попарно равны; кроме того, ÐАСВ = ÐCAD и ÐCBD = ÐADB. Если О - точка пересечения диагоналей четырёхугольника, то ∆ОВС = ∆ODA (т.к. ВС = АD и ÐCBD=ÐADB, ÐBCA=ÐCAD). Следовательно, ОВ=ОD и ОС=ОА, так что диагонали четырёхугольника делятся в точке пересечения пополам.
Пусть S - центр сферы, на которой лежит данный четырёхугольник, и через Р и Р' — точки пересечения больших окружностей ВС и AD. При повороте сферы около прямой SО на 180° точка А совмещается с С, точка В - с D, точка С - с А и точка D - с В. Отсюда следует, что большая окружность ВС совмещается с большой окружностью AD, а большая окружность AD - с большой окружностью ВС, так что точка Р совмещается с Р', а точка Р' - с точкой P. Так как прямая РР′ не изменяет своего положения в пространстве при повороте на 1800 около прямой SO, то она пересекает прямую SO под прямым углом, и каждая из дуг ОР и ОР' равна квадранту. Теми же свойствами будут обладать и точки пересечения Q и Q' больших окружностей АВ и СD. Следовательно, точка О является полюсом большой окружности PQP'Q', на которой лежат точки пересечения противоположных сторон.
Примечание. Тот же результат можно получить и не пользуясь понятием вращения, если применить результаты упражнения 4 части В, §2.
Сферические треугольники РАН и P'CD равны (так как они имеют пару равных сторон АВ и CD и соответственно равные углы, прилежащие к этим сторонам), откуда АР = СР'. Следовательно, АР + СР = СР′ + СР= 1800. Медиана OP сферического треугольника РАС. в котором сумма двух сторон равна 1800, равняется квадранту на основании одной из обратных теорем, приведённых в решении упражнения 4 части В, §2.
3. Доказать, что если в четырёхугольнике (сферическом ромбе), все четыре стороны которого равны, диагонали, кроме того, взаимно перпендикулярны.
4. Доказать, что если при попарно равных противоположных сторонах диагонали также равны, то точка их пересечения и точки пересечения противоположных сторон являются вершинами треугольника с тремя прямыми углами; при этом все четыре угла четырёхугольника равны между собой.