Применение дистанционного обучения при изучении курса сферической геометрии (стр. 13 из 16)
Курс составлен так, что всегда можно вернуться к началу или к определённой лекции. В конце обучения пользователю предлагается пройти контрольный тест, по результатам которого можно сделать вывод об успешности изучения данного курса.
Основные понятия сферической геометрии
1. Как найти угол между двумя большими окружностями?
2. Как определить перпендикулярность на сфере?
3. а) Пусть дуга АВ - отрезок на сфере, АС1С2…СSВ – ломаная из сферических отрезков. Доказать, что длина отрезка АВ не превосходит длины ломаной.
б) Верно ли это утверждение, если вместо отрезка АВ взять произвольную дугу большой окружности.
Решение: а) Доказывается в точности так же, как теорема о том, что прямолинейный отрезок на плоскости короче всякой ломаной, соединяющей те же точки.
б) Неверно, дуга должна быть меньше полуокружности, так как доказательство утверждения а) основывается на рассмотрении цепочки сферических треугольников, а в любом сферическом треугольнике каждая сторона меньше полуокружности. Ясно, что дуга большой окружности, большая полуокружности, не является кратчайшей.
4. Верно ли, что сумма углов сферического треугольника всегда равна 1800?
Решение: Не верно, так как если рассмотреть две большие окружности и окружность перпендикулярную к ним обеим, то получим треугольник, у которого два угла прямые.
5. На сколько частей делят сферу:
· Две большие окружности;
· Две любые окружности;
· Три большие окружности;
· Десять больших окружностей, проходящих через диаметрально противоположные точки сферы?
Сферические треугольники.
А:
1. Какого вида треугольники могут быть на сфере?
2. Каждая сторона сферического треугольника меньше суммы двух других его сторон, но больше их разности. Доказать.
Решение: Рассмотрим трёхгранный угол. Известно, что в трёхгранном угле любой его плоский угол меньше суммы двух других плоских углов и больше их разности. Ясно, что сферический треугольник можно получить с помощью любого трёхгранного угла, если пересечь его сферой, центр которой будет совпадать с вершиной данного угла. Так как градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего центрального угла, соотношение линейных углов в трёхгранном угле соответствует соотношению сторон в сферическом треугольнике, т.е. во всяком сферическом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других его сторон и больше их разности.
3. Доказать, что во всяком сферическом треугольнике сумма двух углов без третьего меньше p, а сумма трёх углов принадлежит интервалу (p;3p).
Решение: 1) Для ∆А′В′С′ - полярного данному ∆АВС, имеем: а′ + b′ > с′ (по предыдущей задаче). Переходя от полярного треугольника к данному, получим: π - ÐА + π - ÐВ > π - ÐС, откуда имеем ÐА +ÐВ -ÐС < π
2) Площадь сферического треугольника: S∆АВС=(ÐА+ÐВ+ÐС – π)r2, так как S∆АВС > 0, то ÐА+ÐВ+ÐС – π > 0 и, следовательно, ÐА+ÐВ+ÐС > π.
4. Если в сферическом треугольнике две стороны конгруэнтны, то конгруэнтны и углы, противолежащие им. Доказать.
5. В сферическом треугольнике против конгруэнтных углов лежат конгруэнтные стороны. Доказать.
6. Доказать, что в сферическом треугольнике против большего угла лежит и большая сторона.
Решение: Пусть в ∆АВС, ÐC>ÐB, построим CD так, что ÐАВС=ÐBCD,
тогда ∆BCD – равнобедренный и BD=CD, тогда верно неравенство:
AC<AD+DC=AD+DB=AB.(рис.1)Рис.1
7. Доказать, что в сферическом треугольнике против большей стороны лежит и больший угол.
Решение: Пусть в ∆АВС, АВ > АС. Предположим, что ÐС=ÐВ, тогда АВ=АС или, что ÐС < ÐВ, тогда АВ < АС (из предыдущей задачи). Получили противоречие, значит, единственный возможный вариант ÐС>ÐB.
8. Найти площадь сферического треугольника, углы которого равны 900, 600 и 450, если этот треугольник лежит на шаре, радиус которого равен 10 м.
Решение: Площадь сферического треугольника:S∆АВС=(ÐА+ÐВ+ÐС – π)r2, тогда S∆АВС=(900+ 600 + 450 – 1800)102=1500м2.
9. Доказать, что медианы сферического треугольника (т.е. меньшие дуги больших окружностей, соединяющие вершины с серединами противоположных сторон) пересекаются в одной точке.
Решение: Пусть АВС – данный сферический треугольник; AD, BE и CF- его медианы (см. рис.2), S – центр сферы.
Рис.2
Так как прямая SD делит дугу ВС пополам, то она делит и хорду ВС в точке D0 пополам, так что D0B=D0C. Точно также прямые SE и SF проходят через середины E0 и F0 хорд АС и АВ. Прямые AD0, BE0 и CF0 проходят, как медианы прямолинейного треугольника АВС, через одну точку. Следовательно, плоскости ASD0, BSE0 и CSF0 проходят через одну прямую d, а лежащие в этих плоскостях дуги АD, ВЕ и СF – через одну точку G.
10. Доказать, что высоты сферического треугольника пересекаются в одной точке. Верно ли, что биссектрисы сферического треугольника пересекаются в одной точке?
11.
Доказать, что гипотенуза прямоугольного сферического треугольника меньше квадранта, если оба катета одновременно меньше или оба больше квадранта, и больше квадранта, если один из катетов меньше, а другой больше квадранта.Решение: Рассмотрим ∆АВС, ÐАСВ=
и катеты АС< , BC< (рис.3)Рис. 3
Отложим на большой окружности СВ в сторону точки В дугу СК, равную квадранту. Точка К будет одним из полюсов большой окружности АС, и потому дуга АК также будет равна квадранту.
При этом АС будет меньшей перпендикулярной дугой, опущенной из точки А на большую окружность СВ, и так как точка В лежит ближе к С, чем точка К, то АВ<АК. Таким образом, гипотенуза треугольника меньше квадранта.
Если бы катет АС был меньше квадранта, а катет ВС – больше квадранта, то при тех же условиях точка К лежала бы ближе к С, чем точка В, и мы имели бы АВ>АК. Таким образом, гипотенуза была бы больше квадранта.
Наконец, если оба катета АС и ВС больше квадранта, то мы продолжим дуги СА и СВ за точки А и В до их вторичного пересечения в точке С`, диаметрально противоположной точке С. Гипотенуза АВ треугольника АВС будет и гипотенузой треугольника АВС`, в котором в каждом из катетов меньше квадранта. Следовательно, в этом случае гипотенуза АВ меньше квадранта.
В:
1. Доказать, что два сферических треугольника равны по трём углам.
2. Дан треугольник АВС и полярный к нему А′В′С′. Доказать, что треугольник, полярный к треугольнику А′В′С′, совпадёт с треугольником АВС.
3. Найти максимум или минимум площади сферического треугольника, в котором известна сторона и угол и соответствующая высота.
4. Доказать, что:
1) если медиана сферического треугольника равна квадранту (четверть окружности), то она одновременно служит биссектрисой того угла, через вершину которого она проходит (не зависимо будет ли данный треугольник равнобедренным или нет), и равна полусумме сторон, прилежащих к этому углу.
2) Если медиана меньше квадранта, то она образует с большей из двух сторон АВ и АС, между которыми она проходит, угол меньший, чем с другой стороной; она больше (за исключением случая равнобедренного треугольника) биссектрисы угла ВАС, считаемой от вершины до противоположной стороны, и меньше полусуммы сторон АВ и АС, которая в свою очередь меньше квадранта; если медиана больше квадранта, то имеют место противоположные неравенства. (Вторая часть этого предложения сводится к первой путём замены вершины А, из которой выходит медиана, диаметрально противоположной точкой.
3) Рассмотреть обратные предложения. Одно из них гласит: если медиана сферического треугольника является одновременно биссектрисой угла, из вершины которого она выходит, то или она равна квадранту, или треугольник равнобедренный.
Решение:
1) Пусть медиана AD сферического треугольника АВС (рис.4) равна квадранту. Отложим на продолжении дуги AD за точку D дугу DE, равную AD. Тогда ∆ABD =∆ECD, так как ÐADB=ÐEDC; BD=CD и AD=ED.
ОтсюдаÐBAD=ÐCED (1)
CE=AB (2)
Так как дуга ADE равна половине большой окружности, то точка Е диаметрально противоположна точке А и точки А, С и Е лежат на одной большой окружности, так что ÐCED=ÐCAD. Из сравнения этого равенства с равенством (1) вытекает, что ÐBAD=ÐCAD, так что AD есть биссектриса ÐВАС.
Далее, в силу (2), имеем
AB+AC=EC+AC=ACE=ADE=2AD.
Итак, если медиана сферического треугольника равна квадранту, то она одновременно служит биссектрисой того угла, через вершину которого она проходит, и равна полусумме сторон, прилежащих к этому углу.