Расчет показателей надежности простейшей системы электроснабжения вероятностными методами (стр. 2 из 3)

По полученным значениям V_А, V_Б, V_В вычисляются вероятности безотказного электроснабжения энергорайонов - V_№1 и V_№2 . Для энергорайона №1 схема замещения по надежности показана на рис. 2.

Для данной схемы вероятность V_№1 определиться как:

V_№1 = Р_Г ^.Р_Т ^.(1-(1- Р_А)(1- Р_Б)) = 0.95 ^.0.985 ^.(1-(1- 0.96)(1- 0.96)) = 0 .934.

Для энергорайона №2 схема замещения по надежности линейна, поэтому

V_№2 = V_В = 0.8.

Вероятность безотказной работы системы в целом определиться в соответствии с теоремой умножения для совместных событий

V_sys = V_№1 ^. V_№2 = 0.934 ·^·0.8 = 0.7472.

Метод статистических испытаний

Для решения данной задачи методом Монте-Карло предполагается использовать датчик случайных чисел v с равномерным распределением в интервале [0..1]. Эти числа сравниваются со значениями V_{А ,} V_Б, V_В . Сформулируем решающее правило:

если значение случайного числа v не больше вероятности работоспособного состояния каждой из подстанций

v ≤ V_j , , j

{ А, Б, В }, (4)

то соответствующая подстанция находится в рабочем состоянии, иначе – в обесточенном состоянии.

На этом принципе строятся «испытания» по оценке состояний системы. Если в результате разыгрывания «состояний подстанций» отказов в электроснабжении не будет, то испытание признается положительным, в противном случае – отрицательным. Вероятность безотказной работы системы U_sys в этом методе определяется по формуле:

U_sys = N⁺/ N = 1 - N^-/ N , (5)

где N – общее число испытаний, N⁺ - число положительных, N^- - число отрицательных испытаний, N = N⁺ + N^- .

Результат каждого испытания удобно представить значением двоичной (бинарной) переменной b_j , принимающей значение 1, если выполнен критерий (4) и 0 в ином случае:

если v ≤ V_j то b_j = 1 иначе b_j = 0.

Из рис. 1 и выражений (4) и (5) следует:

b_sys = (b_A+b_Б)·b_В , (6)

где b_sys – состояние системы.

Тогда, после N испытаний, значение N⁺ можно определить как

N⁺

В таблице №1 показана реализация данной методики (подготовлена в Excel) и приведены результаты разыгрывания случайных состояний системы методом Монте-Карло при числе испытаний N = 10.

По данным из таблицы №1 получаем статистическую оценку вероятности работоспособного состояния системы: число значений b_sys = 0 равно трем, то есть

N^- = 3, N⁺ = 7, U_sys = 7/10 = 0.7.

Абсолютная погрешность этого результата по сравнению с аналитическим методом равна

= | U_sys- V_sys| = 0.7- 0.7472 = 0.0472. (7)

Относительная погрешность

= ( / V_sys) 100% = 0.0472/0.7472 = 6.3%. (8)

В соответствии с заданием, увеличим число испытаний вдвое. Для этого достаточно модифицировать данные в Excel – таблице, снова подсчитать число значений b_sys = 0 и, сложив с прежним, получим (показан фрагмент таблицы)

N^- = 3+2, N⁺ = 20 – 5 = 15, U_sys = 15/20 = 0.75.

Абсолютная погрешность этого результата по сравнению с аналитическим методом равна

= | U_sys- V_sys| = 0.75 - 0.7472 = 0.0028.

Относительная погрешность

= (/ V_sys) 100% = 0.0028/0.7472 = 0.4%.

Дополнительные замечания о методе Монте-Карло

1. Известно, что точность оценки искомых характеристик тем выше, чем больше число испытаний. Для того чтобы выбрать величину N для конкретных испытаний, задаются вероятностью (доверительной) получения правильного решения, обычно принимаемого равной 0.997, что соответствует диапазону ± 3σ для нормального распределения, где σ = √D - с.к.о. исследуемой случайной величины. Тогда необходимое число испытаний определится из формулы

δ' =

(9)