Особливі точки рівняння (стр. 1 из 3)
Міністерство освіти і науки України
Дніпропетровський національний університет ім. Олеся Гончара
КОНТРОЛЬНА РОБОТА
з дисципліни „Диференціальні рівняння"
на тему „Особливі точки”
Виконавець: студентка групи
Назаренко Олеся
Перевірив:
м. Дніпропетровськ 2010 р.
Зміст
1. Особливі точки
Особливою точкою системи
(1)або рівняння
(2)де функції
й 
неперервно диференційовані, називається така точка, в якій 
.Для дослідження особливої точки системи
(3)або рівняння
(4)треба знайти розв’язок характеристичного рівняння
(5)Якщо розв’язки
дійсні, різні 
й одного знаку 
, то особлива точка - вузол (рис.1, а), причому стійкий, якщо 
й нестійкий, якщо 
.Вузол характеризується тим, що всі траєкторії, крім однієї II, мають у точці (0,0) загальну дотичну I, що сама є траєкторією. Прямі I і II спрямовані вздовж власних векторів матриці
, які відповідають 
і 
, причому пряма I відповідає меншому за модулем з і .При
вузол є стійкою точкою спокою. На рис.1а стрілками показаний напрямок руху вздовж траєкторії при зростанні 
у випадку стійкого вузла. Якщо , то вузол нестійкий і стрілки заміняються на протилежні. 
Рис.1. Типові траєкторії [2]
Якщо розв’язки
дійсні, різні й різних знаків 
, то особлива точка - сідло (рис.1, б). Сідло є нестійкою точкою спокою.Сідло характеризується наявністю двох траєкторій I і II, що проходять через (0,0) також у напрямку власних векторів. Пряма I є асимптотою для інших траєкторій при
, а II є асимптотою при 
. Прямолінійна траєкторія I розташована за напрямком власного вектора, що відповідає додатньому 
, а прямолінійна траєкторія II за напрямком власного вектора, що відповідає від‘ємному . Прямі I і II називаються сепаратрисами сідла. На рис.1б стрілками показаний напрямок руху вздовж траєкторії при зростанні . Сепаратриса II є єдиною траєкторією, якій відповідає розв’язок, що прямує до 0 при . Тільки дві траєкторії I і II є прямолінійними. Інші траєкторії криволінійні й зі зростанням йдуть із 
в . Сепаратриси I і II розділяють фазову площину на 4 області, у яких лежать криволінійні траєкторії.Якщо розв’язки
комплексні з дійсною частиною 
, відмінною від нуля, то особлива точка - фокус (рис.1, в), причому стійкий, якщо 
й нестійкий, якщо 
. На рис.1в стрілками показаний напрямок руху при зростанні у випадку стійкого фокуса.Зауваження. У випадку фокуса траєкторії можуть бути закручені навколо (0,0) у різних напрямках. Для того, щоб визначити напрямок закручування, досить обчислити вектор швидкості
в якій-небудь точці, наприклад, в (0,1). Аналогічно досліджується напрямок руху у випадку центра й виродженого вузла.Якщо розв’язки
комплексні чисто мнимі ( 
), то особлива точка - центр (рис.1, г). Центр є стійкою, але не асимптотично стійкою точкою спокою.Якщо розв’язки рівні й ненульові (тобто
), то особлива точка може бути виродженим вузлом (рис.1, д) або дикритичним вузлом (рис.1, е), причому дикритичний вузол має місце тільки у випадку системи 
(або рівняння 
), а у всіх інших випадках при особлива точка є виродженим вузлом. У випадку виродженого вузла всі траєкторії дотикаються однієї прямої, спрямованої вздовж єдиного власного вектора, що відповідає . Дикритичний вузол може бути стійким 
і нестійким 
.Якщо ж один або обидва розв’язки рівняння (5) дорівнюють нулю, то
, і, отже, дріб у правій частині рівняння (4) скорочується. Рівняння набуває вигляду 
, і розв’язок на площині XOY зображуються паралельними прямими.2. Задача 1
Дослідити особливі точки рівняння. Накреслити інтегральні криві на площині XOY:
Розв’язання.
Для дослідження особливої точки рівняння
треба знайти розв’язок характеристичного рівняння
У нас
, 
, 
, 
. Складаємо характеристичне рівняння 
і розв’язуємо його відносно
Розв’язки характеристичного рівняння дійсні й мають різні знаки.
Отже, особлива точка (0,0) - сідло. Сідло є нестійкою точкою спокою.
1. Перший спосіб побудови інтегральних кривих.
Власний вектор
, що відповідає власному числу , знаходимо, підставляючи в рівняння 
значення
. Маємо 
