Алгебра 10 класс Мерзляк профиль (стр. 4 из 7)
33.• Дано множини {7}, {11}, {19}, {7, 11}, {7, 19}, {11, 19}, ∅, які є всіма власними підмножинами деякої множини A. Запишіть множину A.
34.• Запишіть усі підмножини множини {1, 2}.
35.• Опишіть мовою «необхідно й достатньо» належність елемента x множинам A, B і C (рис. 8).
à) á) â)
Рис. 8
36.• Замість крапок поставте слово «необхідно» або «достатньо», щоб утворилося правильне твердження:
1) для того щоб трикутник був рівностороннім, ..., щоб два його кути були рівні;
2) для того щоб чотирикутник був паралелограмом, ..., щоб дві його сторони були паралельні;
3) для того щоб число ділилося націло на 3, ..., щоб воно ділилося націло на 9;
4) для того щоб остання цифра десяткового запису числа була нулем, ..., щоб число було кратне 5.
16 17
37.• Відомо, що для будьякої множини B множина A є її підмножиною. Знайдіть множину A.
38.• Які з наступних тверджень є правильними:
1) {a, b} Ç {a} = a; 3) {a, b} Ç {a} = {a}; 2) {a, b} Ç {a} = {a, b}; 4) {a, b} Ç {a} = {b}?
39.• Знайдіть перетин множин A і B, якщо:
1) A — множина рівнобедрених трикутників, B — множина рівносторонніх трикутників;
2) A — множина прямокутних трикутників, B — множина рівносторонніх трикутників;
3) A — множина двоцифрових чисел, B — множина натуральних чисел, кратних 19;
4) A — множина одноцифрових чисел, B — множина простих чисел.
40.• Знайдіть перетин множин A і B, якщо:
1) A = {x | x < 19}, B = {x | x ∈ , x > 11}; 2) A = {x | x = 4n, n ∈ }, B = {x | x = 6n, n ∈ }; 3) A = {(x; y) | 2x – y = 1}, B = {(x; y) | x + y = 5}.
41.• Накресліть два трикутники так, щоб їх перетином була така геометрична фігура: 1) відрізок; 2) точка; 3) трикутник; 4) п’ятикутник; 5) шестикутник.
42.• Які фігури можуть бути перетином двох променів, що лежать на одній прямій?
43.• Відомо, що для будьякої множини B виконується рівність A Ç B = A. Знайдіть множину A.
44.• Які з наступних тверджень є правильними:
1) {a, b} È {b} = {a, b}; 3) {a, b} È {a} = {a}; 2) {a, b} È {b} = {b}; 4) {a, b} È {b} = {{b}}?
45.• Знайдіть об’єднання множин A і B, якщо:
1) A — множина рівнобедрених трикутників, B — множина рівносторонніх трикутників;
2) A — множина простих чисел, B — множина складених чисел;
3) A — множина простих чисел, B — множина непарних чисел.
46.• Знайдіть об’єднання множин A і B, якщо:
1) A = {x | x2 – 1 = 0}, B = {x | (x – 1) (x – 2) = 0}; 2) A = {x | 2x + 3 = 0}, B = {x | x2 + 3 = 2};
3) A = {x | x ∈ , x < 5}, B = {x | x ∈ , x < 7}.
47.• Накресліть два трикутники так, щоб їх об’єднанням був: 1) чотирикутник; 2) трикутник; 3) шестикутник. Чи може об’єднання трикутників бути відрізком?
48.• Які фігури можуть бути об’єднанням двох променів, що лежать на одній прямій?
49.• Відомо, що для будьякої множини B виконується рівність A È B = B. Знайдіть множину A.
50.• Наведіть приклад такої одноелементної множини, що її елемент є одночасно підмножиною даної множини.
3. 
скінченні множини. Взаємно однозначна відповідність
Якщо множина містить скінченну кількість елементів, то її називають скінченною, а якщо в ній нескінченно багато елементів — то нескінченною. Порожню множину вважають скінченною.
Наприклад, множина учнів вашого класу — скінченна множина, а множина натуральних чисел — нескінченна множина.Якщо A — скінченна множина, то кількість її елементів позначатимемо так: n (A).
Наприклад, якщо A — це множина днів тижня, то n (A) = 7; якщо B — це множина двоцифрових чисел, то n (B) = 90. Зро Рис. 9 зуміло, що n (∅) = 0.
Нехай A і B — такі скінченні множини, що A Ç B = ∅. Тоді очевидно, що
n (A È B) = n (A) + n (B). (1)
Якщо A і B — скінченні множини, причому A Ç B ≠ ∅ (рис. 9), то до суми n (A) + n (B) двічі входить кількість елементів їх перетину, тобто двічі враховується число n (A Ç B). Отже, у цьому випадку
| n (A È B) = n (A) + n (B) – n (A Ç B) |
(2)
| 18 19 |
Коли A Ç B = ∅, то n (A Ç B) = 0. Тому формула (2) є узагальненням формули (1).
Приклад 1 У фізикоматематичному класі 25 учнів, і всі вони люблять математику. Відомо, що 23 учні люблять алгебру, а 21 — геометрію. Скільки учнів цього класу люблять і алгебру, і геометрію?Розв’язання. Нехай A — множина учнів, які люблять алгебру, B — множина учнів, які люблять геометрію. Тоді n (A) = 23, n (B) = 21, n (A È B) = 25. Водночас A Ç B — множина учнів, які люблять і алгебру, і геометрію. З формули (2) отримуємо n (A Ç B) = n (A) + n (B) – n (A È B) = 23 + 21 – 25 = 19.
З’ясуємо, як знайти кількість елементів множини A È B È С, де A, B і C — скінченні множини.
Рис. 10 Рис. 11
Якщо A Ç B Ç C = ∅ (рис. 10), то зрозуміло, що
n – (A n È(A B ÇÈ B C) – ) = n n ((BA )Ç + Cn ) – (Bn ) + (C n Ç (AC).) – (3)
Якщо A Ç B Ç C ≠ ∅ (рис. 11), то права частина формули (3) не враховує кількості спільних елементів множин A, B і C. Отже, у цьому випадку формула набуває вигляду:
n (A È B È C) = n (A) + n (B) + n (C) – (4)
– n (A Ç B) – n (B Ç C) – n (C Ç A) + n (A Ç B Ç C).
Аналогічну формулу можна отримати для будьякої кількості множин. Її називають «формулою включеннявиключення».
Приклад 2 У спортивній школі є три секції: акробатики, баскетболу, волейболу. Відомо, що школу відвідують 200 школярів, а кожну із секцій — 80 школярів. Доведіть, що знайдеться 14 школярів, які відвідують одні й ті самі дві секції.Розв’язання. Позначимо множини школярів, які відвідують секції акробатики, баскетболу й волейболу, буквами А, Б і В відповідно. Тоді n (A È Б È В) = 200, n (A) = n (Б) = n (В) = 80. Підставимо ці значення у формулу (4):
200 = 80 + 80 + 80 – n (A Ç Б) – n (Б Ç В) – – n (В Ç A) + n (A Ç Б Ç В).
Звідси n (A Ç Б) + n (Б Ç В) + n (В Ç A) = 40 + n (A Ç Б Ç В) l 40.
Якщо припустити, що кожне з чисел n (A Ç Б), n (Б Ç В), n (В Ç A) не перевищує 13, то їх сума не перевищує 39. Отримали суперечність.
Нам доволі часто доводиться порівнювати скінченні множини за кількістю їх елементів.
Як дізнатися, чи вистачить у шкільній бібліотеці підручників з алгебри і початків аналізу для десятикласників? Звичайно, можна порахувати окремо учнів і підручники, а можна видати підручники учням. Якщо, наприклад, усім підручників вистачить, а в бібліотеці не залишиться жодного підручника, то це означатиме, що десятикласників і підручників однакова кількість.
Так само, щоб дізнатися, чи вистачить стільців у класі, зовсім не обов’язково їх перераховувати. Достатньо запросити учнів сісти на стільці. Якщо, наприклад, місць вистачить не всім, то це означатиме, що кількість учнів більша, ніж кількість стільців. У цих прикладах, порівнюючи кількість елементів двох множин, ми кожному елементу однієї множини поставили у відповідність єдиний елемент другої множини. Скористаємося цією ідеєю в наступному прикладі.
Приклад 3 Порівняйте кількість елементів множини A двоцифрових чисел і множини B трицифрових чисел, десятковий запис яких закінчується цифрою 1.Розв’язання. Поставимо у відповідність кожному двоцифровому числу те трицифрове число, яке отримаємо з нього, приписавши справа одиницю. Дістанемо:
10, 11, 12, ..., 98, 99
- - - - -
101, 111, 121, ..., 981, 991
Зазначимо, що за такої відповідності всі елементи множини B виявляться «задіяними». Справді, якщо в числі виду ab1 закреслити останню цифру, то отримаємо двоцифрове число ab.
На основі відповідності між елементами множин A і B можна зробити висновок, що n (A) = n (B).
| 20 21 |
Означення. Якщо кожному елементу множини A поставлено у відповідність єдиний елемент множини B і при цьому будьякий елемент множини B є відповідним деякому єдиному елементу множини A, то кажуть, що між множинами A і B встановлено взаємно однозначну відповідність.