Алгебра 10 класс Мерзляк профиль (стр. 3 из 7)
Наприклад, множина є власною підмножиною множини .
Приклад 1 Випишіть усі підмножини множини A = {a, b, c}.Розв’язання. Маємо: {a}, {b}, {c}, {a, b}, {b, c}, {a, c}, {a, b, c}, ∅. Усього отримали 8 підмножин. В 11 класі буде доведено, що кількість підмножин nелементної множини дорівнює 2n.
Нехай A — множина розв’язків рівняння x + y = 5, а B — множина розв’язків рівняння x – y = 3. Тоді множина C розв’язків системи рівнянь
x y+ = 5,
x y− = 3
складається з усіх елементів, які належать і множині A, і множині B. У такому випадку кажуть, що множина C є перетином множин A і B.
Означення. Перетином множин A і B називають множину, яка складається з усіх елементів, що належать і множині A, і множині B.
Перетин множин A і B позначають так: A Ç B.
З означення випливає, що A Ç B = {x | x ∈ A і x ∈ B}.
Легко переконатися, що розв’язком системи, яка розглядалася, є пара (4; 1). Цей факт можна записати так:
{(x; y) | x + y = 5} Ç {(x; y) | x – y = 3} = {(4; 1)}.
Якщо множини A і B не мають спільних елементів, то їх перетином є порожня множина, тобто A Ç B = ∅. Також зазначимо, що A Ç ∅ = ∅.
З означення перетину двох множин випливає, що коли A ⊂ B, то A Ç B = A, зокрема, якщо B = A, то A Ç A = A. Наприклад,
Ç = , Ç = .
Перетин множин зручно ілюструвати за допомогою діаграм Ейлера. На рисунку 4 заштрихована фігура зображує множину A Ç B.
а) б)
Рис. 4
Для того щоб розв’язати рівняння (x2 – x) (x2 – 1) = 0, треба розв’язати кожне з рівнянь x2 – x = 0 і x2 – 1 = 0.
Маємо: A = {0, 1} — множина коренів першого рівняння, B = {–1, 1} — множина коренів другого рівняння. Зрозуміло, що множина C = {–1, 0, 1}, кожний елемент якої належить або множині A, або множині B, є множиною коренів заданого рівняння. Множину C називають об’єднанням множин A і B.
Означення. Об’єднанням множин A і B називають множину, яка складається з усіх елементів, що належать хоча б одній з цих множин: або множині A, або множині B.
Об’єднання множин A і B позначають так: A È B. З означення випливає, що
| 12 13 |
A È B = {x | x ∈ A або x ∈ B}.
Наприклад, (–3; 1) È (0; 2] = (–3; 2], (–∞; 1) È (–1; +∞) =
= (–∞; +∞).
Об’єднання множин ірраціональних і раціональних чисел дорівнює множині дійсних чисел.
Якщо треба знайти об’єднання множин розв’язків рівнянь (нерівностей), то кажуть, що треба розв’язати сукупність рівнянь (нерівностей). Сукупність записують за допомогою квадратної дужки. Так, щоб розв’язати рівняння (x2 – x) (x2 – 1) = 0, треба розв’язати сукупність рівнянь
x2 − =x 0, x2 − =1 0.
Зауважимо, що A È ∅ = A.
З означення об’єднання двох множин випливає, що коли A ⊂ B, то A È B = В, зокрема, якщо B = A, то A È A = A.
Об’єднання множин зручно ілюструвати за допомогою діаграм Ейлера. На рисунку 5 заштрихована фігура зображує множину A È B.
а) б)
в)
Рис. 5
Часто доводиться розглядати перетин і об’єднання трьох і більше множин.
Перетин множин A, B і C — це множина всіх елементів, які належать і множині A, і множині B, і множині C (рис. 6).
Наприклад, щоб розв’язати систему рівнянь
x y+ = 5,
x y− = 3, x2 +y2 =17,
треба знайти перетин трьох множин: {(x, y) | x + y = 5}, {(x, y) | x – – y = 3} і {(x, y) | x2 + y2 = 17}.
Об’єднання множин A, B і C — це множина всіх елементів, які належать хоча б одній з цих множин: або множині A, або множині B, або множині C (рис. 7).
Наприклад, об’єднання множин гострокутних, тупокутних і прямокутних трикутників — це множина всіх трикутників.
Рис. 6 Рис. 7
Приклад 2 Знайдіть перетин множин A і B, якщо:1) A = {x | x = 5k, k ∈ }, B = {x | x = 3n, n ∈ };
2) A — множина ромбів, B — множина прямокутників;
3) A = {x | x > 3}, B = {x | x m 4};
4) A = {x | x ∈ , x = 2m, m ∈ }, B — множина простих чисел. Розв’язання
1) A — множина натуральних чисел, кратних 5.
B — множина натуральних чисел, кратних 3.
Тоді множина A Ç B складається з усіх натуральних чисел, кратних 5 і 3 одночасно, тобто з усіх натуральних чисел, кратних 15. Отже, A Ç B = {x | x = 15k, k ∈ }.
2) Множина A Ç B складається з усіх чотирикутників, які одночасно є і ромбами, і прямокутниками. Отже, шукана множина — це множина квадратів.
3) A Ç B = {x | 3 < x m 4}.
4) A — множина парних натуральних чисел. Оскільки у множині простих чисел є тільки одне парне число (число 2), то A Ç B = {2}.
Приклад 3 Знайдіть об’єднання множин A і B, якщо:1) A = {x | x = 2k – 1, k ∈ }, B = {x | x = 2n, n ∈ };
2) A = {x | x = 2k – 1, k ∈ }, B = {x | x = 4n + 1, n ∈ };
3) A = {X | OX < 3}, B = {X | OX = 3}, де O і X — точки площини, O — дана точка.
Розв’язання
1) A — множина непарних натуральних чисел, B — множина парних натуральних чисел. Тоді A È B — це множина натуральних чисел, тобто A È B = .
2) A — множина непарних натуральних чисел. Елементами множини B є тільки непарні числа. Отже, B ⊂ A. Тоді A È B = = A = {x | x = 2k – 1, k ∈ }.
| 14 15 |
3) Очевидно, що A È B = {X | OX m 3}. Отже, A È B — це круг з центром O і радіусом 3.
17.° Назвіть кілька підмножин учнів вашого класу.
18.° Назвіть якінебудь геометричні фігури, які є підмножинами множини точок прямої.
19.° Назвіть якінебудь геометричні фігури, які є підмножинами множини точок круга.
20.° Нехай A — множина букв у слові «координата». Множина букв якого слова є підмножиною множини A: 1) кора; 4) крокодил; 7) тин; 10) дорога; 2) дірка; 5) нитки; 8) криниця; 11) дар; 3) картина; 6) нирки; 9) сокирка; 12) кардинал?
21.° Нехай A — множина цифр числа 1958. Чи є множина цифр числа x підмножиною множини A, якщо: 1) x = 98; 3) x = 519; 5) x = 195888; 2) x = 9510; 4) x = 5858; 6) x = 91258?
22.° Нехай A ≠ ∅. Які дві різні підмножини завжди має множина A?
23.° Знайдіть перетин множин цифр, які використовуються в запису чисел:
1) 555288 і 82223; 2) 470713 і 400007.
24.° Нехай A — множина двоцифрових чисел, B — множина простих чисел. Чи належить множині A Ç B число: 5, 7, 11, 31, 57, 96?
25.° Знайдіть множину спільних дільників чисел 30 і 45.
26.° Знайдіть об’єднання множин цифр, які використовуються в запису чисел:
1) 27288 і 56383; 2) 55555 і 777777. 27.° Які з наступних тверджень є правильними:
1) {a} ∈ {a, b}; 3) a ⊂ {a, b}; 2) {a} ⊂ {a, b}; 4) {a, b} ∈ {a, b}?
28.• Доведіть, що коли A ⊂ B і B ⊂ C, то A ⊂ C.
29.• Розмістіть дані множини у такій послідовності, щоб кожна наступна множина була підмножиною попередньої:
1) A — множина прямокутників;
B — множина чотирикутників;
C — множина квадратів;
D — множина паралелограмів;
2) A — множина ссавців;
B — множина собачих;
C — множина хребетних;
D — множина вовків;E — множина хижих ссавців.
30.• Зобразіть за допомогою діаграм Ейлера співвідношення між множинами:
1) A — множина невід’ємних раціональних чисел;
B = {0};
— множина натуральних чисел;
2) — множина цілих чисел; A — множина натуральних чисел, кратних 6; B — множина натуральних чисел, кратних 3.
31.• Запишіть за допомогою символу ⊂ співвідношення між множинами:
A = {x | x = 2n, n ∈ }; C = {x | x = 10n, n ∈ }; B = {x | x = 50n, n ∈ }; D = {x | x = 5n, n ∈ }.
32.• Яка з множин A або B є підмножиною другої, якщо:
A = {x | x = 4n + 2, n ∈ }; B = {x | x = 8n + 2, n ∈ } ?