Алгебра 10 класс Мерзляк профиль (стр. 2 из 7)
Другий спосіб полягає в тому, що задається характеристична властивість елементів множини, тобто властивість, яка притаманна всім елементам даної множини і тільки їм. Наприклад, властивість «натуральне число при діленні на 2 дає в остачі 1» задає множину непарних чисел.
6 7
Якщо x — довільний елемент множини A, яку задано за допомогою характеристичної властивості її елементів, то пишуть A = {x | ...}. Тут після вертикальної риски вказують характеристичну властивість, якій має задовольняти елемент x, щоб належати множині A.
Розглянемо кілька прикладів.
• {x | x = 3n, n ∈ } — множина натуральних чисел, кратних 2 3.
• {x | x (x2 – 1) = 0} — множина коренів рівняння x (x – 1) = 0. Ця множина дорівнює множині {–1, 0, 1}, яку, у свою чергу, можна задати за допомогою іншої характеристичної властивості:
{x | x ∈ , | x | < 2}.2 Тому можна записати, що {x | x (x – 1) = 0} = = {x | x ∈ , | x | < 2}.
• Нехай (x; y) — координати точки. Тоді множина точок {(x; y) | y = = 2x – 1, x — будьяке число} — пряма, яка є графіком функції y = 2x – 1.
Узагалі, для точок координатної площини множина {(x; y) | y = = f (x), x ∈ D (f)} — це графік функції f.
У геометрії, задаючи множину точок за допомогою характеристичної властивості, тим самим задають ГМТ.
• Якщо A, B — дані точки площини, X — довільна точка цієї площини, то множина {X | XA = XB} — серединний перпендикуляр відрізка AB.
Якщо задавати множину характеристичною властивістю її елементів, то може статися, що жодний об’єкт такої властивості не має. Розглянемо приклади.
• Множина трикутників, сторони яких пропорційні числам 1, 2, 5. З нерівності трикутника випливає, що ця множина не містить жодного елемента.
• Позначимо через A множину учнів вашого класу, які є майстрами спорту з шахів. Може виявитися, що множина A також не містить жодного елемента.
• Розглядаючи множину коренів довільного рівняння, слід передбачити ситуацію, коли рівняння коренів не має.
Наведені приклади вказують на те, що зручно до сукупності множин віднести ще одну особливу множину, яка не містить жодного елемента. Її називають порожньою множиною і позначають символом ∅.
Наприклад, {x | 0x = 2} = {x | x ∈ , x < 1} = ∅.
Зазначимо, що множина {∅} не є порожньою. Вона містить один елемент — порожню множину.
1. Множина та її елементи
Приклад Доведіть, що множина A всіх парних натуральних чисел дорівнює множині B чисел, які можна подати у вигляді суми двох непарних натуральних чисел.Розв’язання. Нехай x ∈ A. Тоді можна записати, що x = 2m, де m — натуральне число. Маємо: x = 2m = (2m – 1) + 1. Отже, x ∈ B.
Тепер припустимо, що x ∈ B. Тоді x = (2n – 1) + (2k – 1), де n і k — натуральні числа. Маємо: x = 2n – 1 + 2k – 1 = = 2 (n + k – 1). Отже, x ∈ A.
Маємо: якщо x ∈ A, то x ∈ B, і навпаки, якщо x ∈ B, то x ∈ A. Звідси A = B.
1.° Як називають множину точок кута, рівновіддалених від його сторін?
2.° Як називають множину вовків, які підкорюються одному ватажку?
3.° Назвіть якунебудь множину запорізьких козаків.
4.° Як називають множину вчителів, які працюють в одній школі?
5.° Поставте замість зірочки знак ∈ або ∉ так, щоб отримати правильне твердження:
1) 5 * ; 3) –5 * ; 5) 3,14 * ; 7) 2 *; 2) 0 * ; 4) − 
*; 6) π * ; 8) 3 *∅.6.° Дано функцію f (x) = x2 + 1. Поставте замість зірочки знак ∈ або ∉ так, щоб отримати правильне твердження:
1) 3 * D (f); 3) 0 * E (f); 5) 1,01 * E (f).
2) 0 * D (f); 4)
* E f( );7.° Які з наступних тверджень є правильними: 1) 1 ∈ {1, 2, 3}; 3) {1} ∈ {1, 2}; 5) ∅ ∉ {1, 2}; 2) 1 ∉ {1}; 4) {1} ∈ { {1} }; 6) ∅ ∈ {∅}?
8.° Запишіть множину коренів рівняння:
1) x (x – 1) = 0; 3) x = 2;
| 8 9 |
2) (x – 2) (x2 – 4) = 0; 4) x2 + 3 = 0.
9.° Задайте переліком елементів множину:
1) правильних дробів зі знаменником 7;
2) правильних дробів, знаменник яких не перевищує 4;3) букв у слові «математика»; 4) цифр числа 5555.
10.° Задайте переліком елементів множину:
1) A = {x | x ∈ , x2 – 1 = 0}; 2) B = {x | x ∈ , | x | < 3};
3) C = {x | x ∈ , x m 15, x = 7k, k ∈ }.
11.° Задайте переліком елементів множину: 1) A = {x | x ∈ , x (2 | x | – 1) = 0}; 2) B = {x | x ∈ , –3 m x < 2}.
12.• Чи рівні множини A і B, якщо:
1) A = {1, 2}, B = {2, 1}; 3) A = {1}, B = { {1} }?
2) A = {(1; 0)}, B = {(0; 1)};
13.• Чи рівні множини A і B, якщо:
1) A = [–1; 2), B = (–1; 2];
2) A — множина коренів рівняння | x | = x, B = [0; +∞);
3) A — множина чотирикутників, у яких протилежні сторони попарно рівні; B — множина чотирикутників, у яких діагоналі точкою перетину діляться навпіл?
14.• Які з наступних множин дорівнюють порожній множині: 1) множина трикутників, сума кутів яких дорівнює 181°;
2) множина гірських вершин заввишки понад 8800 м;
3) множина гострокутних трикутників, медіана яких дорівнює половині сторони, до якої вона проведена; 4) множина функцій, графіком яких є коло?
15.• Нехай O — задана точка площини. Що являє собою множина точок M цієї площини:
1) {M | OM = 3 см}; 3) {M | OM m 5 см}?
2) {M | OM > 5 см};
16.• Які з наведених множин дорівнюють порожній множині:1) ; 4) D = { x | 3x4 + 5x2 + 7 = 0 };
2) B = { x | x ≠ x }; 5) E = {x | x > | x | }?
3) C = { x | x ∈ , | x | < 1 };
2. 
Підмножина. операції над множинами
Розглянемо множину цифр десяткової системи числення A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Виокремимо з множини A ті її елементи, які є парними цифрами. Отримаємо множину B = {0, 2, 4, 6, 8}, усі елементи якої є елементами множини A.
Означення. Множину B називають підмножиною множини A, якщо кожний елемент множини B є елементом множини A.
Це записують так: B ⊂ A або A ⊃ B (читають: «множина B є підмножиною множини A» або «множина A містить множину B»). Розглянемо приклади:
•
⊂ , ⊂ , ⊃ , ⊂ ; AC B• {x x|2 1 } |
;Рис. 1
• {a} ⊂ {a, b};
• множина учнів вашого класу є підмножиною множини учнів вашої школи;
• множина ссавців є підмножиною множини хребетних;
• множина точок променя CB є підмно жиною множини точок прямої AB (рис. 1).
Для ілюстрації співвідношень між множинами використовують схеми, які називають діаграмами Ейлера.
На рисунку 2 зображено множину A (більший круг) і множину B (менший круг, який міститься в більшому). Ця схема означає, що B ⊂ A (або A ⊃ B).
На рисунку 3 за допомогою діа грам Ейлера показано співвідношення між множинами , , і .
⊂ ⊂ ⊂
| 10 11 |
Рис. 2 Рис. 3
Якщо B ⊂ A, то за допомогою рисунка 2 можна зробити такі висновки:
1) для того щоб елемент x належав множині A, достатньо, щоб він належав множині B;
2) для того щоб елемент x належав множині B, необхідно, щоб він належав множині A.
Наприклад, якщо A — множина натуральних чисел, кратних 5, а B — множина натуральних чисел, кратних 10, то очевидно, що B ⊂ A. Тому для того, щоб натуральне число n було кратним 5 (n ∈ A), достатньо, щоб воно було кратним 10 (n ∈ B). Для того щоб натуральне число n було кратним 10 (n ∈ B), необхідно, щоб воно було кратним 5 (n ∈ A).
Із означень підмножини і рівності множин випливає, що коли A ⊂ B і B ⊂ A, то A = B.
Якщо в множині B немає такого елемента, який не належить множині A, то множина B є підмножиною множини A. У силу цих міркувань порожню множину вважають підмножиною будьякої множини. Справді, порожня множина не містить жодного елемента, отже, у ній немає елемента, який не належить даній множині A. Тому для будьякої множини A справедливе твердження: ∅ ⊂ A.
Будьяка множина A є підмножиною самої себе, тобто A ⊂ A.
Означення. Якщо B ⊂ A і B ≠ A, то множину B називають власною підмножиною множини A.