Применение тригонометрической подстановки для решения алгебраических задач (стр. 9 из 14)
. 
.Так как
, то 
. 
.Ответ:
.Здесь решение с помощью тригонометрической подстановки компактнее, быстрее приводит к результату. Единственный и важный момент, на который следует указать учащимся, является необходимость обоснования введения тригонометрической подстановки. Тот факт, что, например,
и 
по модулю не превосходят единицы, можно проиллюстрировать графически. Уравнение 
задает окружность с центром в начале координат и радиуса 2.Из рисунка видно, что
и 
принимают значения из отрезка 
, тогда и изменяются на отрезке 
. 
Решение задач с параметрами – один из труднейших разделов школьного курса математики. Здесь, кроме использования определенных алгоритмов решения уравнений или неравенств, приходится думать об удачной классификации, следить за тем, чтобы не пропустить много тонкостей. Уравнения и неравенства с параметрами – это тема, на которой проверяется подлинное понимание учеником материала. Поэтому, например, на вступительных экзаменах в вузы с повышенными требованиями по математике уравнения и неравенства с параметрами часто включают в варианты письменных работ.
Пример 1.Решите и исследуйте уравнение
[45].Решение с помощью тригонометрической подстановки
Так как
, то 
, поэтому положим 
. Уравнение примет вид 
.Если
, то данное уравнение корней не имеет.Пусть
. Так как 
, то 
. При этих значениях 
имеем 
.То есть для того чтобы уравнение имело корни необходимо и достаточно, чтобы
.Значит, если
, то данное уравнение корней не имеет.Пусть
, то есть 
. Отсюда 
. Тогда данное уравнение имеет один корень 
.Если
, то исходное уравнение имеет два корня 
. 
, 
.Ответ: Если
или 
, то данное уравнение корней не имеет.Если
, то уравнение имеет единственный корень 
.Если
, то уравнение имеет два корня 
.Алгебраическое решение
.Пусть
. Выясним, при каких значениях выполняется неравенство 
, то есть решим неравенство 
.Пусть
, тогда рассмотрим неравенство 
.Ответ: Если
или , то данное уравнение корней не имеет.Если
, то уравнение имеет единственный корень .Если
, то уравнение имеет два корня .В данном случае оба решения равноценны, можно решать любым способом. Зато уже в следующем примере решение с помощью тригонометрической подстановки проще.
Пример 2. При каких а неравенство
имеет решение [13].
Неравенство
имеет решение при а большем наименьшего значения выражения 
.Решение с помощью тригонометрической подстановки
Положим
, тогда 
, где 
.Оценим выражение
.Наименьшее значение выражения
равно 
. Значит, при 
неравенство имеет решение.Ответ: при
неравенство имеет решение.Алгебраическое решение
Если
, то неравенство примет вид 
.Значит, при
неравенство имеет решение.Поделим числитель и знаменатель на
, получим 
.
Введем замену
, тогда