
.
Так как

, то

.
Ответ:

.
В данном случае алгебраическое решение в техническом плане проще, но рассмотреть приведенное решение с помощью тригонометрической подстановки следует обязательно. Это связано, во-первых, с нестандартностью самой подстановки, которая разрушает стереотип, что применение тригонометрической подстановки возможно лишь, когда

. Оказывается, если

тригонометрическая подстановка тоже находит применение. Во-вторых, представляет определенную трудность решение тригонометрического уравнения

, которое сводится введением замены к системе уравнений. В определенном смысле эту замену тоже можно считать нестандартной, а знакомство с ней позволяет обогатить арсенал приемов и методов решения тригонометрических уравнений.
Пример 4. Решить уравнение

[4].
Решение с помощью тригонометрической подстановки
Так как переменная

может принимать любые действительные значения, положим

. Тогда

,

,так как

.
Исходное уравнение с учетом проведенных преобразований примет вид

.
Так как

, поделим обе части уравнения на

, получим

.
Пусть

, тогда

. Уравнение примет вид

.

.
Учитывая подстановку

, получим совокупность из двух уравнений

.
Решим каждое уравнение совокупности по отдельности.
1)

.

.

не может быть значением синуса, так как

для любых значений аргумента.

.
Откуда

.
Так как

и правая часть исходного уравнения положительна, то

. Из чего следует, что

.
2)

.

.
Это уравнение корней не имеет, так как

.
Итак, исходное уравнение имеет единственный корень

.
Ответ:

.
Алгебраическое решение
Данное уравнение легко «превратить» в рациональное уравнение восьмой степени возведением обеих частей исходного уравнения в квадрат. Поиск корней получившегося рационального уравнения затруднен, и необходимо обладать высокой степенью изобретательности, чтобы справиться с задачей. Поэтому целесообразно знать иной способ решения, менее традиционный. Например, подстановку

, предложенную И. Ф. Шарыгиным [57].
Положим

, тогда

Преобразуем правую часть уравнения

:

.
С учетом преобразований уравнение

примет вид

.
Введем замену

, тогда

.
Второй корень является лишним, поэтому

, а

.
Ответ:

.
Если заранее не известна идея решения уравнения
, то решать стандартно возведением обеих частей уравнения в квадрат проблематично, так как в результате получается уравнение восьмой степени
, найти корни которого чрезвычайно сложно. Решение с помощью тригонометрической подстановки выглядит громоздким. Могут возникнуть трудности с поиском корней уравнения
, если не заметить, что оно является возвратным. Решение указанного уравнения происходит с применением аппарата алгебры, поэтому можно сказать, что предложенное решение является комбинированным. В нем сведения из алгебры и тригонометрии работают совместно на одну цель – получить решение. Также решение указанного уравнения требует аккуратного рассмотрения двух случаев. Решение заменой
технически проще и красивее, чем с помощью тригонометрической подстановки. Желательно, чтобы учащиеся знали такой способ замены и применяли его для решения задач. Подчеркнем, что применение тригонометрической подстановки для решения задач должно быть осознанным и оправданным. Использовать подстановку целесообразно в тех случаях, когда решение другим способом сложнее или вовсе невозможно. Приведем еще один пример, который, в отличие от предыдущего, проще и быстрее решается стандартным способом.
Пример 5. Решить уравнение

[51].
Решение с помощью тригонометрической подстановки
Так как переменная

может принимать любые действительные значения, можно положить

. Уравнение примет вид

.
В силу того, что

, можно раскрыть модуль

.
Так как

, то

.
Ответ:

.