Применение тригонометрической подстановки для решения алгебраических задач (стр. 3 из 14)

Положим

, где , тогда

.

.

.

Ответ:

.

Алгебраическое решение

.

Так как

, то . Значит, , поэтому можно раскрыть модуль

.

Ответ:

.

Решение уравнения алгебраическим способом требует хорошего навыка проведения тождественных преобразований и грамотного обращения с равносильными переходами. Но в общем оба приема решения равноценны.

Пример 2. Решите уравнение

[14].

Решение с помощью тригонометрической подстановки

Область определения уравнения задается неравенством

, что равносильно условию , тогда . Поэтому можно положить . Уравнение примет вид

.

Так как

, то . Раскроем внутренний модуль

.

Положим

, тогда

.

Условию

удовлетворяют два значения и .

.

.

Ответ:

.

Алгебраическое решение

.

Возведем в квадрат уравнение первой системы совокупности, получим

.

Пусть

, тогда . Уравнение перепишется в виде

.

Проверкой устанавливаем, что

– корень, тогда делением многочлена на двучлен получаем разложение правой части уравнения на множители

.

От переменной

перейдем к переменной , получим

.

Условию

удовлетворяют два значения

.

Подставив эти значения в исходное уравнение, получаем, что

– корень.

Решая аналогично уравнение второй системы исходной совокупности, находим, что

тоже корень.

Ответ:

.

Если в предыдущем примере алгебраическое решение и решение с помощью тригонометрической подстановки были равноценны, то в данном случае решение подстановкой выгоднее. При решении уравнения средствами алгебры приходится решать совокупность из двух уравнений, то есть дважды возводить в квадрат. После этого неравносильного преобразования получаются два уравнения четвертой степени с иррациональными коэффициентами, избавиться от которых помогает замена. Еще одна трудность – проверка найденных решений подстановкой в исходное уравнение.

Пример 3. Решите уравнение

[31].

Решение с помощью тригонометрической подстановки

Так как

, то . Заметим, что отрицательное значение неизвестного не может быть решением задачи. Действительно, преобразуем исходное уравнение к виду

.

Множитель в скобках в левой части уравнения положительный, правая часть уравнения тоже положительная, поэтому множитель

в левой части уравнения не может быть отрицательным. Вот почему , тогда , поэтому можно положить Исходное уравнение перепишется в виде

.

Так как

, то и . Уравнение примет вид

.

Пусть

. Перейдем от уравнения к равносильной системе

.

Числа

и являются корнями квадратного уравнения

.

.

Ответ:

.

Алгебраическое решение

Возведем обе части уравнения в квадрат

.

Введем замену

, тогда уравнение запишется в виде

.

Второй корень является лишним, поэтому рассмотрим уравнение