Применение тригонометрической подстановки для решения алгебраических задач (стр. 2 из 14)

где

– корни уравнения . Чтобы при замене не потерять корней, достаточно убедиться, что каждому значению из рассматриваемой области соответствует хотя бы одно значение , удовлетворяющее равенству .

В отличие от описанного выше метод равносильной замены требует нахождения множества значений переменной

. В данном случае накладывается требование: каждому значению из рассматриваемой области соответствует ровно одно значение переменной , удовлетворяющее равенству . Такой подход ведет к сохранению области определения исходного уравнения и не требует перехода к совокупности.

Подобные замены порой существенно упрощают решение. Замена переменных и переход к новым обозначениям облегчают выкладки и делают громоздкое алгебраическое выражение компактным и обозримым. Вот почему следует приучать школьников при решении задач не торопиться начинать преобразования: пусть они сначала посмотрят, нельзя ли записать уравнение проще, введя новую переменную. При этом не стоит забывать, что, во-первых, далеко не всегда замена бывает столь уж необходима. Во-вторых, если приходится прибегать к замене неизвестной, то стоит сразу подобрать ее так, чтобы она вбирала в себя по возможности большее количество неприятных деталей, затрудняющих решение.

Умение удачно ввести новую переменную – важнейший элемент математической культуры школьника. При этом искусство производить замену переменных заключается в том, чтобы увидеть, какая замена будет более рациональна и быстрее приведет к успеху.

Новая переменная иногда очевидна, иногда несколько завуалирована, но «ощущается». В более сложных случаях, для того чтобы найти удачную замену неизвестной, требуется дополнительная творческая работа, которая впоследствии окупается простотой и изящностью решения.

Учить методу замены, выбору удачных новых переменных следует специально еще и потому, что не всегда учащиеся могут додуматься до него самостоятельно. В таких случаях удобную подстановку желательно знать заранее. Особенно трудно учащимся представить себе, что вместо переменной можно подставить тригонометрическую функцию, поскольку при этом, как кажется, алгебраическое выражение усложняется. Однако известные свойства тригонометрических функций упрощают некоторые уравнения, неравенства и их системы, в то время как прямое алгебраическое решение оказывается более сложным технически. Таким образом, тригонометрическую подстановку можно назвать нестандартным методом решения стандартных по постановке задач – уравнений, неравенств и их систем.

§2. Тригонометрическая подстановка

Тригонометрическая подстановка является одним из способов реализации метода замены переменной и используется в тех случаях, когда область определения исходного уравнения совпадает с областью значения тригонометрической функции или включается в эту область. Выбор той или иной функции при этом зависит от вида уравнения, неравенства, их систем или алгебраического выражения, которое требуется упростить.

Если из условия задачи следует, что допустимые значения переменной

определяются неравенством , то удобны замены или . В первом случае достаточно рассмотреть , так как на этом промежутке непрерывная функция возрастает, поэтому каждое свое значение принимает ровно в одной точке. Непрерывная функция убывает на промежутке , поэтому также каждое свое значение принимает ровно в одной точке. Вот почему в случае замены , достаточно взять . Причем какую из двух подстановок выбрать, зависит от конкретной ситуации.

В случаях, когда переменная может принимать любые действительные значения, используются замены

или , так как область значения функции и на соответствующих промежутках есть множество всех действительных чисел.

Реже используются замены

или , где , а выбор значений снова зависит от конкретной ситуации.

Когда выражение зависит от двух переменных

и , целесообразно положить , , где . Такая замена законна. Действительно, для любых и существует такое , что . При имеем . А числа, сумма квадратов которых равна единице, по модулю не превосходят единицы и их можно рассматривать как синус и косинус некоторого угла. Геометрический смысл такой замены состоит в следующем: для каждой точки определяется расстояние до начала координат и угол наклона вектора к положительному направлению оси абсцисс.

И последнее замечание. Реализовать такую подстановку не так уж трудно, главное и, наверное, самое сложное – суметь ее увидеть. Поэтому целесообразно помочь учащимся научиться распознавать «приметы» тригонометрических подстановок. Содержание следующей главы направлено на выработку соответствующих умений.

Глава 2

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ ПОДСТАНОВКИ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ

§1. Решение уравнений

1.1 Иррациональные уравнения

Иррациональные уравнения часто встречаются на вступительных экзаменах по математике, так как с их помощью легко диагностируется знание таких понятий, как равносильные преобразования, область определения и другие. Методы решения иррациональных уравнений, как правило, основаны на возможности замены (с помощью некоторых преобразований) иррационального уравнения рациональным, которое либо равносильно исходному иррациональному уравнению, либо является его следствием. Чаще всего обе части уравнения возводят в одну и ту же степень. Эквивалентность не нарушается при возведении обеих частей в нечетную степень. В противном случае требуется проверка найденных решений или оценка знака обеих частей уравнения. Но существуют и другие приемы, которые могут оказаться более эффективными при решении иррациональных уравнений. Например, метод тригонометрической подстановки.

Пример 1. Решите уравнение

[12].

Решение с помощью тригонометрической подстановки

Так как

, то . Поэтому можно положить . Уравнение примет вид

.