Применение тригонометрической подстановки для решения алгебраических задач (стр. 12 из 14)

Перейдем к разбору дополнительного задания. Оно содержало уравнение с параметром, для которого требовалось исследовать количество решений в зависимости от параметра. Из двадцати одного ученика к заданию на дополнительную оценку приступили двадцать человек, из них половина верно справилась с ним. Семеро из верно решивших учащихся опирались на графическую иллюстрацию, трое – использовали алгебраический подход. Из не решивших десяти человек семеро привели исходное уравнение с помощью тригонометрической подстановки к виду

и продолжили решение для . Они не учли, что аргумент правой части равенства . Трое не рассмотрели все возможные случаи.

Этап 3. Проведение диагностирующей домашней контрольной работы.

Домашняя контрольная работа была проведена после завершающего четвертого занятия перед написанием итоговой контрольной работы.

Содержание:

1. Решите уравнение

.

2. Решите уравнение

.

3. Решите уравнение

.

4. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения

в области .

Результаты:

Фамилия	1 задание	2 задание	3 задание	4 задание
1	Бакулин	+д	+	+
2	Бизяев	+д	+
3	Витвицкий	+	+к	+	+
4	Громазин	+	+	+	–
5	Давидюк	+	+	+	*
6	Жичкина	–с	+	+	–
7	Журавлев	+	+	+	*
8	Коновалов	+	+	+	+
9	Коробейников	+с	+	+
10	Макарова	+	+	+
11	Новоселов	+	+	–	*
12	Овчинников	+	+		+
13	Прокашев	+	+	+	+
14	Сероглазов	+д	+	+	*
15	Скачилова	+	+	+
16	Хохлов	+д	+	+	+
17	Черняк	+с	+	+
18	Шильников	+	+	+	*
Процент учащихся, верно выполнивших задание		94%	100%	83%	89%
Процент учащихся, выбравших тригонометрическую подстановку		72%	100%	100%	100%
Процент учащихся, верно решивших с помощью тригонометрической подстановки		92%	100%	83%	89%
Процент учащихся, обосновавших введение тригонометрической подстановки		100%	100%	100%	56%
Процент учащихся, верно решивших другим способом		87,5%	–	–	–
Процент учащихся, решавших двумя способами		17%	0%	0%	0%

Первые три задания были посвящены решению иррациональных уравнений. Причем решить первое уравнение было рекомендовано двумя способами: с помощью тригонометрической подстановки и без нее. Это было сделано с той целью, чтобы показать учащимся: не всегда введение тригонометрической подстановки упрощает решение. Иногда применение стандартного метода для решения задач оказывается более эффективным. Таким образом, уравнение было призвано обратить внимание учащихся не необходимость обдуманного введения тригонометрической подстановки. Пример не вызвал серьезных затруднений, из восемнадцати работ только в одной были ошибки. Как правило, для решения учащиеся выбирали и обосновывали подстановку

.

Одним учащимся был предложен другой вариант тригонометрической подстановки

,

но само решение оказалось более громоздким.

Со вторым заданием справились все учащиеся.

В третьем задании ошибки возникли у трех учащихся из восемнадцати и были связаны с неверным отбором корней.

Вновь наибольшие затруднения вызвало задание на нахождение наибольшего и наименьшего значений выражения. Даже среди тех, кто получил верный ответ, немногие обосновали введение тригонометрической подстановки.

Этап 4. Анализ полученных результатов опытной работы.

Результаты контрольной и домашней контрольной работ можно представить в виде диаграмм.

Процент учащихся, выбравших тригонометрическую подстановку

В основном в качестве метода решения предложенных алгебраических задач учащиеся выбирали метод тригонометрической подстановки. Другим способом решали, если задание состояло в том, чтобы найти наибольшее значение выражения при заданных в системе условиях (как в контрольной работе) или если было рекомендовано решать другим способом (как в домашней контрольной работе).

Процент учащихся, верно справившихся с заданиями

Из диаграмм видно, что наибольшие затруднения вызывали у учащихся задания двух типов. Во – первых, задания на нахождение наибольшего и наименьшего значений выражения. Во – вторых, иррациональные уравнения, область допустимых значений которых можно представить неравенством

, где . А вот иррациональные уравнения, область допустимых значений которых определяется неравенством , традиционно решаются лучше.

Процент учащихся, обосновавших введение тригонометрической подстановки

Во всех заданиях, где учащимся было предложено решить иррациональное уравнение, тригонометрическая подстановка была обоснована. Хуже обстояло дело с обоснованием введения тригонометрической подстановки, если речь шла о двух переменных. В этом случае учащиеся, как правило, приступали к решению, доводили его до верного ответа, но не обосновывали законность произведенной замены.

Так как только в двух случаях (в одном задании из контрольной и в одном задании из домашней контрольной работы) учащиеся предложили другое решение без использования тригонометрической подстановки

Сравним процент учащихся, решивших верно с помощью тригонометрической подстановки и без нее

Решение более привычным и отработанным способом для учащихся оказалось эффективнее, чем с помощью введения тригонометрической подстановки. И это не удивительно. Тема «Применение тригонометрической подстановки для решения алгебраических задач» является довольно сложной, речь идет о ее рассмотрении на факультативных занятиях только в классах с углубленным изучением математики. Пять факультативных занятий для того чтобы учащиеся овладели этим методом, безусловно, мало, о чем свидетельствуют результаты. Но ввиду того, что применение тригонометрической подстановки может оказать существенную помощь в решении некоторых классов задач (например, иррациональных уравнений, задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции и других), желательно продолжить работу с учащимися над овладением этим методом и вернуться к нему в конце 11 класса. В пользу этого говорит еще и тот факт, что при решении предложенных задач учащиеся выбирали именно этот способ решения для получения ответа. Особенно удачно учащиеся использовали замену при решении иррациональных уравнений, видели возможность введения тригонометрической подстановки и обосновывали это введение. Сама замена стала интересной для учащихся не только тем, что позволила решить непростые конкурсные примеры, но и указала на связь между алгеброй и тригонометрией, показала, что введение тригонометрической подстановки не только не усложняет решение, а в некоторых случаях существенно упрощает его, тем самым повышая значимость самой тригонометрии в глазах учащихся.