Геометрия 10 класс Бевз профиль (стр. 5 из 16)

Êîæíà êîîðäèíàòà ñåðåäèíè âіäðіçêà äîðіâíþє ïіâñóìі âіäïîâіäíèõ êîîðäèíàò éîãî êіíöіâ. Òîáòî ÿêùî êіíöі âіäðіçêà À(õ₁; ó₁) і Â(õ ; ó ), òî ñåðåäèíîþ äàíîãî âіäðіçêà є òî÷êà ç êîîðäèíàòàìè

2

Êâàäðàò äîâæèíè âіäðіçêà äîðіâíþє ñóìі êâàäðàòіâ éîãî ïðîåêöіé íà äâі âçàєìíî ïåðïåíäèêóëÿðíі ïðÿìі.

Ðіâíÿííÿì ôіãóðè íà êîîðäèíàòíіé ïëîùèíі íàçèâàþòü ðіâíÿííÿ ç äâîìà çìіííèìè, ÿêå çàäîâîëüíÿþòü êîîðäèíàòè êîæíîї òî÷êè äàíîї ôіãóðè і òіëüêè âîíè.

Ðіâíÿííÿ êîëà ðàäіóñà r іç öåíòðîì ó òî÷öі À(à; b) ìàє âèãëÿä (õ – à)² + (ó – b)²  r².

ßêùî öåíòð êîëà ðàäіóñà r ëåæèòü ó ïî÷àòêó êîîðäèíàò, òî

éîãî ðіâíÿííÿ õ² + ó²  r².

Êîæíіé ïðÿìіé êîîðäèíàòíîї ïëîùèíè âіäïîâіäàє ëіíіéíå ðіâíÿííÿ ç äâîìà çìіííèìè ax + by + ñ  0. Òàêå ðіâíÿííÿ íàçèâàþòü çàãàëüíèì ðіâíÿííÿì ïðÿìîї.

Ðіâíіñòü y  kx + b – ðіâíÿííÿ ïðÿìîї ç êóòîâèì êîåôі öіє íòîì. Òóò k  tg, äå  – êóò, ÿêèé óòâîðþє ïðÿìà ç äîäàòíèì íàïðÿìîì îñі ÎÕ.

_– ðіâíÿííÿ ïðÿìîї, ùî ïðîõîäèòü ÷åðåç äâі

äàíі òî÷êè A(x ; y₁) і Â(õ₂; ó₂).

_– ðіâíÿííÿ ïðÿìîї ó âіäðіçêàõ íà îñÿõ (÷èñëà à і b

ïîêàçóþòü, ÿêі âіäðіçêè ïðÿìà l âіäòèíàє íà îñÿõ êîîðäèíàò). ßêùî ïðÿìі l₁ і l₂ çàäàíі ðіâíÿííÿìè y₁  k₁x + b₁ і y₂  k₂x + b₂,

òî:

1) l₁  l₂ òîäі і òіëüêè òîäі, êîëè k₁  k₂; 2) l₁  l₂ òîäі і òіëüêè òîäі, êîëè k₁ · k₂  –1.

Âåêòîðíі âåëè÷èíè – òі, ÿêі âèçíà÷àþòüñÿ íå òіëüêè ÷èñëîâèìè çíà÷åííÿìè, à é íàïðÿìàìè. Çíà÷åííÿ âåêòîðíèõ âåëè÷èí – âåêòîðè. Ãåîìåòðè÷íî âåêòîðè (íåíóëüîâі) çîáðàæàþòüñÿ íàïðÿìëåíèìè âіäðіçêàìè. Íàïðÿìëåíèé âіäðіçîê ìàє ïî÷àòîê і êіíåöü. Âіäñòàíü ìіæ íèìè – ìîäóëü (äîâæèíà) âåêòîðà.

Äâà âåêòîðè íàçèâàþòü êîëіíåàðíèìè, ÿêùî âіäïîâіäíі їì íàïðÿìëåíі âіäðіçêè ðîçòàøîâàíі íà îäíіé ïðÿìіé àáî íà ïàðàëåëüíèõ ïðÿìèõ. Êîëіíåàðíі âåêòîðè áóâàþòü ñïіâíàïðÿìëåíèìè àáî ïðîòèëåæíî íàïðÿìëåíèìè. Äâà âåêòîðè ðіâíі, ÿêùî âîíè ñïіâíàïðÿìëåíі і ìàþòü ðіâíі ìîäóëі. Äâà âåêòîðè íàçèâàþòü ïðîòèëåæíèìè, ÿêùî âîíè ìàþòü ðіâíі ìîäóëі і ïðîòèëåæíî íàïðÿìëåíі.

Êîîðäèíàòàìè âåêòîðà ç ïî÷àòêîì A(x₁; ó₁) і êіíöåì Â(x₂; y₂) íàçèâàþòü ÷èñëà x  x₂ – x₁ і y  y₂ – y₁.

Çàïèñóþòü òàêèé âåêòîð ó âèãëÿäі:

AB  (x; y), àáî a  (x; y), àáî AB  (x₂ – x₁; y₂ – y₁).

Ìîäóëü âåêòîðà AB  (x; y) ïîçíà÷àþòü ñèìâîëîì |AB|:

Ñóìîþ âåêòîðіâ a  (x₁; y₁) і b  (x₂; y₂) íàçèâàþòü âåêòîð a + b  (x₁ + x₂; y₁ + y₂). Äëÿ äîäàâàííÿ âåêòîðіâ âèêîíóþòüñÿ ïåðåñòàâíèé і ñïîëó÷íèé çàêîíè.

Ãåîìåòðè÷íî äîäàâàòè âåêòîðè ìîæíà çà ïðàâèëîì òðèêóòíèêà àáî ïàðàëåëîãðàìà (ìàë. 22 і 23). Çàâæäè ïðàâèëüíі âåêòîðíі ðіâíîñòі:

AB + BC  AÑ, AB + BC + CD  AD.

Ðіçíèöåþ âåêòîðіâ a  (x₁; y₁) і b  (x₂; y₂) íàçèâàþòü âåêòîð a – b  (x₁ – x₂; y₁ – y₂).

Ðіçíèöÿ âåêòîðіâ AB і KP äîðіâíþє AB + PK. Ùîá âіäíÿòè âіä îäíîãî âåêòîðà äðóãèé, òðåáà äî ïåðøîãî äîäàòè âåêòîð, ïðîòèëåæíèé äðóãîìó.

ßêі íå áóëè á âåêòîðè AB і AC, çàâæäè AB – AC  CB.

Äîáóòêîì âåêòîðà a  (x; y) íà ÷èñëî n íàçèâàþòü âåêòîð na  (nx; ny). Çàâæäè ïðàâèëüíі ðіâíîñòі: