Использование измерений и решение задач на местности при изучении некоторых тем школьного курса геометрии (стр. 9 из 11)

Решение. В силу условия правильного поворота точка О (рис. 37) должна лежать на продолжении задней оси CD. Так как

,

, то из прямоугольных треугольников и находим:

3.4.Величина угла на местности часто определяется линейными промерами. На сторонах угла откладывают отрезки (рис. 38) АВ = АС = 10 м и измеряют ВС. Какова величина угла, если ВС = 12 м?

Решение. Пусть D — середина ВС. Тогда AD — высота биссектриса

Рис. 37 Рис. 38

равнобедренного треугольника. Из прямоугольного треугольника ADBимеем:

.

3.5. В строительной практике широко распространены понятия уклона и угла наклона (участка дороги, откоса плотины, стенок канала, скатов крыши и т.п.). Пусть ЕС— некоторый отрезок на местности, CD— вертикальная, ED— горизонтальная прямая. Углом наклона СЕ называется угол CED; уклоном отрезка СЕ называется отношение его подъема CDк его горизонтальной проекции ED. Какая зависимость существует между углом наклона ее отрезка ЕС и его уклоном k?

Ответ., k= tg

.

НЕРАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКА. УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ

3.6.При проектировании сельской дорожной сети часто возникает необходимость соединить дорогами три пункта А, В и С При этом можно проложить дороги по сторонам треугольника ABC, а можно соединить эти пункты с помощью узла разветвления О (рис. 39) В каком случае общая длина дорожной сети будет меньше?

Решение. Продолжим отрезок АО до пересечения с соответствующей стороной треугольника. В силу неравенства треугольника имеем

АО + ОЕ < АВ + BE, ОС < ОЕ + ЕС.

Сложив эти неравенства, получим:

АО + ОС < АВ + ВС

Аналогично доказывается, что

АО + ОВ <АС + ВС, ВО + ОС < АВ +АС.

Сложив эти неравенства и упростив, получим

АО + ВО + СО < АВ + ВС + АС.

Рис. 39

Так что использование узла разветвления дает более короткую дорожную сеть.

3.7. На рисунке 40 изображено поперечное сечение земляной плотины, сооруженной на склоне. Перед началом строительства такой плотины вначале отмечают на местности (столбами) ее продольную ось OS, а затем с помощью так называемых от точек

и до оси плотины. Найдите эти расстояния, если известно, что высота плотины OS=h , ширина гребня , откосы и

имеют уклон (см. 3.5.) 1:n, а уклон склона 1:m.

Рис. 40

Решение. Выберем систему координат так, как показано на рисунке. Тогда прямая

имеет угловой коэффициент проходит через точку , прямая имеет угловой коэффициент - и проходит через точку , а проходящая через начало координат прямая имеет угловой коэффициент . Поэтому рассматриваемые прямые имеютследующие уравнения:

Точка А принадлежит одновременно прямым

и . Поэтому ее абсциссу можно найти из уравнения

Решив уравнение, получим, что

Аналогично находим, что

Полученные формулы и используются на практике.

ПОДОБИЕ ФИГУР

3.8.На рисунке 41 изображен высотомер лесника. Он представляет собой прямоугольную пластинку размером 10Х 10 см с закрепленным в точке А отвесом, шкалой на стороне ВС и визирами в точках А и D. Наведя с помощью визиров сторону ADна вершину дерева Е и заметив деление шкалы, которое показывает отвес AF, лесник с помощью несложной формулы и находит высоту дерева. Пусть, например, BF = 3 см. Докажите, что

(*)

где Н — высота дерева, h— высота человека на уровне глаз, d— расстояние от дерева до человека (все размеры в метрах).

Рис. 41

Решение. Так как

GEA=

AFB(докажите это, рассматривая пары параллельных прямых), то прямоугольные треугольники EGAи FBAподобны. Поэтому (все размеры в см):

или

Отсюда и следует (*).

ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ

3.9. Высевающий аппарат большинства сеялок представляет собой цилиндрическую катушку с желобками (рис. 42), которые при вращении катушки захватывают зерна и высыпают из сеялки. При проектировании катушки вначале определяют число желобков п и ширину желобка t, исходя из размеров и механических свойств зерен, для которых предназначена сеялка. Эти данные позволяют найти диаметр катушки.

Каким должен быть диаметр катушки высевающего аппарата зерновой сеялки у которой t=13.6 мм (с учетом ширины ребра между смежными желобками), п=12?

Рис. 42

Решение. Требуется найти диаметр окружности, описанной около правильного n-угольника со стороной а_п— t. По известной формуле получаем:

ЦЕНТРАЛЬНЫЙ УГОЛ И ДУГА ОКРУЖНОСТИ

3.10. Известно, что пучок света от фар расходится под углом

= 2° к направлению движения. Какова видимость от фар на повороте с радиусом закругления R= 100 м?

Решение. Пусть автомобиль находится в точке А (рис. 43) Тогда фары освещают дугу АВ, длину которой l и требуется найти. Соединим точки А и В центром окружности О.

Пусть С — середина стороны АВ. Угол СОА равен углу РАВ, так как они дополняют угол ВАО до 90°. Поэтому

.АОС = , AOB= Значит, м.