Использование измерений и решение задач на местности при изучении некоторых тем школьного курса геометрии (стр. 8 из 11)

Проведем прямую через точку А пересечения магистрали с каналом и через данный населенный пункт В. Рассмотрим точку С па этой прямой, удаленную от точки В на расстояние АВ (рис. 32). Тогда если искомая дорога пересекает магистраль и канал в точках Dи Е соответственно, то точка Весть центр симметрии четырехугольника ADCE, который, стало быть является параллелограммом. Теперь сами точки Dи Е можно найти, проведя через точку С прямые, параллельные каналу и магистрали, до пересечения их соответственно с магистралью (в точке D) и с каналом (в точке Е).

Рис. 32

2.8. Железная дорога пересекает канал под острым углом, внутри которого расположен населенный пункт. В каком месте железной дороги нужно расположить полустанок, чтобы расстояния от него до этого пункта и до канала оказались одинаковыми? Укажите положение полустанка, при котором эти расстояния минимальны.

Из точки А пересечения железной дороги с каналом через данный населенный пункт В проведем луч. Опустим из какой-либо точки О железной дороги перпендикуляр ОС к каналу и найдем на луче АВ точки, удаленные

Рис. 33

от точки О на расстояние ОС. Таких точек окажется две — это буду точки D и Е, лежащие на окружности с центром О и радиусом ОС. Для определенности будем считать, что DA>EA(рис. 33). Проведем отрезки BFи BG, соединяющие точку В с точками Fи Gна железной дороге и параллельные отрезкам DOи ЕО соответственно. Тогда из подобия соответствующих треугольников будет следовать, что точки Fи Gравноудалены от канала и от точки В, т. е. они укажут искомые места расположения полустанка. Никаких других возможностей для расположения полустанка нет, поскольку для любой искомой точки существует преобразование гомотетии относительно точки А, переводящее искомую точку в точку О, а точку В в точку луча АВ, удаленную от точки О на расстояние ОС, т. е. в одну из точек Dили Е.

Минимальное расстояние до полустанка достигается в точке F, для которой имеем

ибо

2.9. Две магистрали пересекаются под углом, внутри которого расположен населенный пункт. Как выбрать место для устройства пруда круглой формы, чтобы расстояния от него до этого пункта и до каждой магистрали оказались одинаковыми?

Найдем точку О, в которой должен находиться центр пруда. Поскольку точка О равноудалена от двух данных магистралей, то она лежит на биссектрисе угла между ними. Таким образом, задача сводится к нахождению на данной прямой l – биссектрисе - точки О , равноудаленной от данной точки А – населенного пункта – и от другой данной прямой – той из магистралей, которая образует с прямой l угол, содержащей точку А (этот угол будет обязательно острым, так как он равен половине угла между магистралями). Такая ситуация разобрана в решении задачи 2.8.

Рис. 34

2.10. Как выбрать место для устройства пруда круглой формы, чтобы расстояния от него до данной магистрали и до каждого из двух данных населенных пунктов, расположенных с одной стороны от магистрали, были одинаковыми?

Найдем точку О, в которой должен находиться центр пруда. Поскольку точку О равноудалена от двух данных населенных пунктов А и В, то она лежит на серединном перпендикуляре к отрезку АВ (рис. 34). Таким образом, задача сводится к нахождению на данной прямой h(перпендикуляре) точки О, равноудаленной от точки А или точки В и от другой данной прямой l (магистрали). Если прямые hи lне параллельны и не перпендикулярны, то они в пересечении образуют острый угол, внутри которого расположена одна из точек А и В (ведь обе эти точки лежат по одну сторону от прямой l). Способ нахождения точки О в этом случае указан в решении задачи 2.8. Если прямые h и l перпендикулярны, то точка О должна быть равноудалена от точки их пересечения и от точки А, и этот случай также был разобран в решении задачи 2.1. Наконец, если прямые hи lпараллельны, то точка 0 должна быть удалена от точки А на расстояние, равное расстоянию dмежду прямыми hи l. Поэтому искомая точка лежит на пересечении прямой hи окружности с центром А и радиусом d(таких точек пересечения будет две, поскольку расстояние от точки А до прямой hменьше d— ведь одна из точек А или В расположена между прямыми hи l).

§3. Задачи, предлагаемые учащимся сельской школы

ОКРУЖНОСТЬ

3.1. Для возможности поворота автомобиля (или колесного трактора) направляющие (передние) колеса соединены с осью шарнирами

и
так, что плоскости колес (рис. 35) могут поворачиваться относительно оси. Во время правильного поворота все четыре колеса катятся по дугам концентрических окружностей, причем проекции колес являются касательными к этим окружностям [19]. Докажите, что правильный поворот возможен лишь тогда, когда направляющие колеса поворачиваются на разные углы.

Решение. Допустим противное, что

Тогда равны и вертикальные им углы

, а значит, по признаку параллельности прямые

параллельны.

С другой стороны, поскольку углы

прямые, а прямые

— касательные к окружности качения, то прямые

содержат радиусы концентрических окружностей. Значит, прямые

пересекаются. Противоречие.

Замечание. Рассмотренный эффект на практике достигается с помощью так называемой рулевой трапеции.

ТЕОРЕМА ПИФАГОРА

3.2. Телевизионные радиосигналы распространяются на 15% дальше пределов прямой видимости антенны. При каком наибольшем расстоянии s от передающей антенны высоты Н можно принять телепередачу с помощью приемной антенны высоты h? Определить, при каком максимальном расстоянии можно принять передачу с помощью антенны высотой 20м с Останкинской телебашни (ее высота 538м).

Решение. Вершина В принимающей антенны (рис. 36) за счет шаровой поверхности Земли будет в крайнем случае еще видна из вершины передающей антенны А тогда, когда точки А и В лежат на касательной к земной поверхности. В этом случае

где R – радиус Земли. Так как Н очень мало по сравнению с 2R, то

, а потому

. Полагая в этой формуле

получаем

Рис. 36

Определив таким же образом ВС, найдем АВ. Увеличив полученную величину на 15%, получаем искомую формулу для s (в м): s

. Из нее теперь нетрудно получить ответ и на второй вопрос задачи.

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

3.3.Докажите, что правильный поворот (см. 3.1.) автомобиля возможен лишь тогда, когда направляющие колеса поворачиваются на такие углы

, что

есть величина постоянная при любых возможных