Использование измерений и решение задач на местности при изучении некоторых тем школьного курса геометрии (стр. 6 из 11)

2) что сумма углов всякого треугольника (или по крайней мере прямоугольного) равна двум прямым углам.

Только вооруженный этим знанием Фалес вправе был заключить, что, когда его собственная тень равна его росту, солнечные лучи встречают ровную почву под углом в половину прямого, и, следовательно, вершина пирамиды, середина ее основания и конец ее тени должны обозначать равнобедренный треугольник. Однако способ Фалеса в указанном виде применим не всегда.

§1. Задачи с измерениями при различных ограничениях

При решении задач, связанных с измерениями на местности не всегда применимы непосредственные геометрические измерения. Существуют трудности, связанные с такими измерениями. При решении задач необходимо, чтобы используемые способы были осуществимы на практике и применялся минимум необходимых средств для построений, измерений и вычислений.

1.1. Выясним как по длине тени, падающей от дерева в солнечный день, определить высоту этого дерева?

Так как лучи солнца можно считать практически параллельными, то тень от дерева во столько же раз длиннее тени от какого-либо шеста, во сколько раз дерево выше шеста. Поэтому, установив вертикально шест известной высоты а и измерив отношение kдлины тени от дерева к длине тени от шеста, можно вычислить искомую высоту дерева ka.

Заметим, что указанный способ не слишком надежен, так как отбрасываемая при свете солнца тень не имеет отчетливой границы из-за присущей ей неясно очерченной каймы полутени.

1.2. В городе установлен большой памятник. Имеется почтовая карточка с фотографией этого памятника, сделанной с почтительного расстояния от него Можно ли воспользоваться этим снимком для определения высоты памятника?

Для приблизительного нахождения высоты памятника по снимку можно выбрать две точки, расположенные у фундамента этого памятника, и измерить расстояниемежду ними на фотографии и на местности (второе расстояние нас интересует скорее не в чистом виде, а как проекция на прямую, перпендикулярную направлению, в котором был сфотографирован памятник). Найдя отношение kпервого из расстояний ко второму, мы узнаем масштаб снимка, после чего останется замерить на нем высоту памятника и поделить ее на k..

1.3. Необходимо измерить на местности расстояние между двумя объектами, разделенными зданием или другим препятствием, не позволяющим непосредственно проложить прямую между этими объектами. Как тем не менее можно произвести указанное измерение?

Рис. 22.

Пусть А и В — данные точки на местности, между которыми определяется расстояние. Выберем точку С, из которой видны обе точки А и В (рис. 22). На продолжении отрезка АС за точку С отметим точку Dна расстоянии АС от точки С. Аналогично на продолжении отрезка ВС за точку С отметим точку Е, для которой СЕ=ВС. Тогда отрезки EDи АВ равны, поскольку они симметричны относительно точки С.

Если же из-за недостатка места точки Е и Dвыйдут за пределы досягаемости, то их можно в определенное число раз приблизить к точке С. Тогда отрезок EDбудет в то же число раз короче отрезка АВ, так как треугольники ABCи DECбудут подобны.

1.4. Можно ли воспользоваться для измерения глубины озера торчащим из воды камышом, не вырывая его?

Слегка отклонив камыш и держа его в натянутом состоянии, замерим расстояние а между точками А и В, в которых камыш пересекает поверхность воды соответственно в вертикальном и наклоненном положении (рис. 23). Возвратим камыш в исходное состояние и определим высоту bнад водой, на которую поднимется при этом точка В наклоненного камыша, заняв исходное положение С. Тогда, обозначив через Dоснование камыша, а через х — искомую глубину AD, из прямоугольного треугольника ABDнаходим

откуда

и .

Рис. 23 Рис. 24

1.5. Каким способом можно измерить высоту дерева, не взбираясь на него и не прибегая к помощи теней?

Установив вертикальный шест на некотором расстоянии от дерева, нужно стать в такую точку, из которой верхний конец шеста загораживает в точности верхушку дерева (рис. 24). Тогда, если высота части шеста над уровнем глаз равна а, а расстояния от глаз по горизонтали до шеста и до дерева равны bи у соответственно, то из подобия треугольников можно найти высоту х дерева над уровнем глаз. Наконец, зная свой рост hдо уровня глаз, получаем полную высоту дерева

.

Заметим, что вычисления и измерения можно упростить, если добиться равенства b=a, которое достигается выбором места установки шеста. Кроме того, можно лечь на землю, что позволит считать h=0, а в результате высота дерева окажется равной x=y.

1.6. Существует огромный пруд круглой формы, обойти который по окружности нельзя из-за имеющихся на его берегу различных препятствий в нескольких местах. Кроме того, представляется затруднительным измерять расстояние между какими-либо точками, если только соединяющий их отрезок проходит над водой. Можно ли при таких ограничениях измерять диаметр пруда?

Рис. 25

Встав в точку А на некотором расстоянии от пруда (рис. 25), можно расположить перед собой горизонтальную палку длины а так, чтобы расстояния от обоих ее концов до одного глаза (второй глаз при этом лучше закрыть) были равны одному и тому же значению b , а сами концы палки зрительно совместились с крайними точками пруда, видимыми из точки А. Тогда, измерив расстояние у от А до ближайшей точки пруда по прямой, проходящей через середину палки, можно вычислить радиус х пруда, а значит, и его диаметр 2х. Действительно, из подобия соответствующих прямоугольных треугольников находим

,

откуда 2bx=ax+ay, т.е. x=y

.

Заметим, что если добиться равенства b=а (что достигается выбором точки А), то коэффициент при у в последней формуле будет равен 1, а искомый диаметр пруда окажется равным 2х=2у.

1.7. Как узнать, на какой высоте находится шпиль, расположенный на здании, внутри и вблизи которого измерения затруднительны?

Необходимо установить вертикальный шест на некотором расстоянии от здания и станем в такую точку, из которой

Рис. 26

верхушка шпиля зрительно совмещается с верхним концом шеста (рис. 26). Затем, пройдя некоторое расстояние в направлении от здания по прямой, на которой лежит первая точка и проекция А шпиля на горизонтальную плоскость, еще раз проделайте такую же операцию. Пусть высота шеста над уровнем глаз равна а, расстояние от глаз до шеста в первом положении оказалось равным b, а во втором с. Тогда, измерив расстояние у между точками В и С, в которых мы стояли в первом и во втором случаях, можно сосчитать высоту х шпиля над уровнем глаз. В самом деле, обозначим через zрасстояние между точками А и В. Из подобия соответствующих треугольников имеем

,

откуда

и , т.е.

Коэффициент при у в последнем равенстве можно сделать равным 1, если в первом положении шеста добиться равенства b—а, а во втором — равенства с=2а.

1.8. Как находясь на берегу реки измерить ее ширину, не имея возможности перебраться на другой берег. Для этого необходимо отыскать глазами на противоположном берегу реки близко к воде какой-либо заметный ориентир А — камень, деревце и т. п. — и отметить на своем берегу точку В, расстояние от которой до точки А представляет собой, по-вашему, ширину реки. Как измерить длину отрезка АВ?

Выберем точку С на продолжении прямой АВ за точку В, а также точку D, не лежащую на прямой АВ (рис. 27). Затем выберем точки Е и F на продолжениях прямых BDи CDсоответственно за точку Dтак, чтобы выполнялись равенства BD=DE, CD=DF. Наконец, найдем точку Gпересечения прямых EFи AD. Тогда искомое расстояние между точками А и В будет равно длине отрезка EG. Действительно, из равенства треугольников BDCи EDF(по двум сторонам и углу между ними) имеем равенство углов CBDи FED. Поэтому треугольники BADи EGDравны (по стороне и двум прилежащим к ней углам), а значит, равны и их соответствующие стороны АВ и GE.

Рис. 27 Рис. 28