Вычислительные методы линейной алгебры (стр. 2 из 5)

x₁ + 0.99 x₂ = 1.99,

0.99 x₁ + 0.98x₂ = 1.97,

x₁ = 1 x₂ = 1

x₁ = 3 x₂ = −1.0203

A = L U

L U

L Ux = b.

, .

LU

Ly = b

l11y1 = b₁,

l21y1+ l22y2 = b₂,

... ... ... ... ... ... ...,

lm−1,1y1+ lm−1,2y2+ ...+ ...+ lm−1,m−1ym−1 = bm−1,

lm1y1+ lm2y2+ ...+ ...+ lm,m₋1ym₋1+ lmmym = b_m.

y1 = b1/l11

y_i

Ux = y

u11x1+ u12x2+ u13x3+ ...+ ...+ u1mxm = y1, u21x2+ u23x3+ ...+ ...+ u2mxm = y2,

... ... ... ...,

um−1,m−1xm−1+ ummxm = ym−1

ummxm = ym.

xm = ym/umm

.

Q R QR

A

QRx = b,

Rx = Q^Tb.

m × m

,

A_m

.

lmm umm

A_m

LDU

U

lii = 1 uii = 1 D	A = LU
A = LDU uii = 1	lii = 1 A = L1D1U1 A = L2D2U2
L1D1U1 = L2D2U2	U1U2−1 = D1−1L−1 1L2D2
U1U2−1	D1−1L−1 1L2D2

U1 U2

U1U2−1 = D = E ⇒ U1 = U2

D1−1L−1 1L2D2 = E L−1 1L2 = D1D2−1

L1 L2 L−1 1L2 = E ⇒ L1 = L2

D1 = D2



a11 a12 ... ... ... ... a1m 

a21 a22 ... ... ... ... a2m A... ... ... ... ... ... ...

... ... ... ... ... ... ...

=  am−1,1 am−1,2 ... ... ... ... am−1,m 

 a_m1 a_m2 ... ... ... ... a_mm

^ 1 a⁽¹⁾1222 ... ... ... ... a1⁽¹⁾2mm ^

0 a⁽¹⁾ ... ... ... ... a⁽¹⁾

A(1) = L₁D₁A =... ... ... ... ... ... ... ,

... ... ... ... ... ... ...

^ 0 a(1)_m−1,₂ ... ... ... ... a(1)_m−1,m ^

 0 am⁽¹⁾2 ... ... ... ... ...amm⁽¹⁾

1/a₁₁ 0 0 ... 0 1 0 0 ... 0

D₁ =  0 1 0 ... 0  L₁ k= 1 −a21 1 0 A...(k 0 .

... ... ... ... ... ... ... ... ... ...



0 _{0 0 ... 1} −a_m1 0 0 ... 1

k − −¹⁾

1  ... 0 A(k−1) = L D ...L D A =  0

a(1)12... 1 0

... ... 0 1

... ... a(kk−−11),k a(k−1)

... ... ... ...

... ... ... ...

ka(1)1m1,m  ... a(k−1) − a(k−1)

 ...0	... 0	... 0	... a(mkk−1)	... ...	... ...  ... a(mmk−1) 
A(k−1)	Dk

k−1 k−1 1 1 ^ k(kkk+11),k k(k,mk+1¹⁾ 

0 0 0 a ⁻ ... ... a ⁻,m

D_k = diag(1

,

L_k

... ... ... ... ... ...

0 ... 1 0 ... 0

k ^^{} 1 ... ...k(mk(kk+11)1),k ... ... 0 

L =.

0 ... −a ⁻ 1 ... 0

... ... ... ... ... ...

0 ... −a ⁻ 0 ... 1

A(k) = LkDkLk−1Dk−1 ...L1D1A =

− − ,m

 1 ... a11,k 1 a11,k ... a11,m 1 a¹11,m ^

 ... ... ... k(...k 11),k ... k(k⁽k,m...^k1⁾¹⁾,m1¹ (k...k

0 ... 1 a ⁻ ... a ⁻ a −1)

− − − ₋ 

0 ... 0 0 m^(k) 1,m ¹ m 

= 0 ... 0 1 ... a a(k) − k,m

 ... ... ... ... ... ... ...

0 ... 0 0 ... a ^a(k)



− − −1,m

m−1

U

U = D_mL_m−1D_m−1 ...L₁D₁A =

− − 1,m

... ... ... ... ... ... ...

0 ... 1 a ⁻ ... a ⁻ a ⁻¹⁾

^ 1 ... a11,k 1 a(kk11,k11),k ... a(kk(k,m11k,m1)1),m111 m(ak(mk111 ^{}^

− − − − ,m

⁼0 ... 0 1 ... a a^(k) − k,m

... ... ... ... ... ... ...

0 ... 0 0 ... 1 a ⁻¹⁾

− ,m

0 ... 0 0 ... 0 1

L−¹ = D_mL_m−1D_m−1 ...L₁D₁A L−¹

A = LU.

U

cond(U) = cond(L⁻¹A) = cond(D_mL_m−1D_m−1 ...L₁D₁A) 6

cond(cond(L_i) cond(A)

=1

m