Решетки субнормальных и f-субнормальных подгрупп (стр. 9 из 15)

Если

, то – простая группа. Так как и – -субнормальная подгруппа группы , , то либо , либо . Значит, . Противоречие с выбором группы .

Пусть

. Рассмотрим подгруппы и . Так как – собственная -субнормальная подгруппа и , то нетрудно видеть, что – собственная подгруппа , . Покажем, что .

Рассмотрим два случая.

1. Пусть

– абелева группа. Тогда – -группа, – простое число. Так как и подгруппа -субнормальна в , то по лемме 2.6 получаем , .

2. Пусть

– неабелева группа. В этом случае

есть прямое произведение изоморфных неабелевых простых групп и

.

Рассмотрим подгруппу

. Так как подгруппа -субнормальна в , то ввиду леммы 2.4 и подгруппа -субнормальна в группе . Пусть

Ввиду леммы 2.5 подгруппа

-субнормальна в для любого из . Так как формация обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп, то – -субнормальная подгруппа . Кроме того, из следует, что . Если , то . Получили противоречие с . Значит, . Так как нормальна в , то нормальна в . Но

где

– неабелева простая группа и для всех . Поэтому

Из

и наследственности формации следует, что . Но тогда . Далее, так как , то по лемме 2.5 подгруппа -субнормальна в . Значит, она -субнормальна и в , . Тогда из получаем что

Пусть

– добавление к подгруппе в группе . Так как , то . В силу насыщенности формации из