Решетки субнормальных и f-субнормальных подгрупп (стр. 8 из 15)

есть главный

-фактор группы .

Пусть теперь

. Очевидно, что . Пусть – собственная подгруппа из .Рассмотрим подгруппу . Если , то тогда

Согласно пункту 1

. Пусть . Тогда – собственная подгруппа группы . Тогда

Отсюда

. А это значит, что . Итак, . Так как , то по лемме 2.1 . Лемма доказана.

Лемма. Пусть

– непустая наследственная формация. Тогда:

1) если

– подгруппа группы и , то -субнормальна в ;

2) если

-субнормальна в , – подгруппа группы , то -субнормальна в ;

3) если

и -субнормальные подгруппы , то – -субнормальная подгруппа ;

4) если

-субнормальна в , а -субнормальна в , то -субнормальна в ;

5) если все композиционные факторы группы

принадлежат формации , то каждая субнормальная подгруппа группы является -субнормальной;

6) если

– -субнормальная подгруппа группы , то -субнормальна в для любых .

Лемма. Пусть

– непустая формация, – подгруппа группы , – нормальная подгруппа из . Тогда:

1) если

-субнормальна в , то -субнормальна в и -субнормальна в ;

2) если

, то -субнормальна в тогда и только тогда, когда -субнормальна в .

3. Формации с решеточным свойством

Лемма [1]. Пусть

– наследственная формация. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1)

обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп;

2) группа

принадлежит , если , – -субнормальные -подгруппы группы ;

3)

– формация Фиттинга и всякая -субнормальная -подгруппа группы содержится в -радикале этой группы.

Установим, что из 1) следует 2).

Пусть

– контрпример минимального порядка. В этом случае , где -субнормальная -подгруппа группы , , и не принадлежит . Пусть – минимальная нормальная подгруппа группы . Все условия леммы для фактор-групп выполняются, поэтому в силу выбора имеем, что . В виду теоремы 4.3 из [7] формация является насыщенной. Поэтому группа имеет единственную минимальную нормальную подгруппу и .