Решетки субнормальных и f-субнормальных подгрупп (стр. 7 из 15)

Лемма [3]. Пусть

– локальная наследственная формация, – некоторый ее полный экран. Группа принадлежит тогда и только тогда, когда выполняются следующие два условия:

1)

;

2)

, где – главный -фактор группы , – минимальная не -группа.

Доказательство. Необходимость вытекает из леммы 2.1.

Достаточность. Пусть

и – произвольные максимальные подгруппы . Покажем, что . Если -абнормальна, то ввиду леммы 2.1 имеем . Значит, . Пусть . По условию

Следовательно,

и по лемме 2.1 – -группа. Значит по лемме 8.2 из [6] . Итак, . Применяя теперь лемму 2.1 получаем, что . Лемма доказана.

Лемма [3]. Пусть

– локальная формация, имеющая постоянный наследственный локальный экран . Тогда справедливы следующие утверждения:

1)

для любого из ;

2)

тогда и только тогда, когда для любого из , – главный фактор , .

Доказательство. 1) Пусть

– произвольная группа из . Покажем, что . Предположим противное. Пусть – подгруппа наименьшего порядка из , не принадлежащая . Очевидно, что . Так как – постоянный экран, то ввиду леммы 4.5 из [5] для любого из . Если , то из того, что следует . Получили противоречие. Итак, – собственная подгруппа из . Но тогда , что невозможно.

2) Пусть

. Покажем, что . Так как

то, не ограничивая общности, можно считать, что

. Пусть – произвольная -абнормальная максимальная подгруппа группы . Тогда по лемме 2.1 , где . Очевидно, что . Отсюда следует, что – -группа. Так как и – постоянный экран, то . Пусть – произвольная собственная подгруппа из . Так как формация наследственна, то . Кроме того, . Отсюда . Следовательно,

Если теперь

, то . Отсюда нетрудно заметить, что . Противоречие. Итак, . Из леммы 2.1 следует, что