Решетки субнормальных и f-субнормальных подгрупп (стр. 6 из 15)

По теореме 7.11 из [5],

Так как

, то

Ввиду того, что

и – главный фактор , имеем . Итак, . Пусть – любая -абнормальная максимальная подгруппа группы . Тогда . Ясно, что

Не ограничивая общности, положим

. Тогда – единственная минимальная нормальная подгруппа . Легко видеть, что и . Но – -группа. Значит, . По условию . Следовательно, ввиду полноты экрана имеет место

то

. Таким образом, всякая собственная подгруппа группы принадлежит . Допустим, что . Тогда

и поэтому

. Полученное противоречие показывает, что , т.е. – минимальная не -группа.

Предположим теперь, что

. Покажем, что . Не теряя общности, можно положить, что . Тогда , . Пусть , где и , где . Для всякого через обозначим подгруппу . Предположим, что все отличны от . Так как , то – дополнение к в . Если для всех различных и , то

и поэтому

. Противоречие. Значит для некоторых различных и . Из последнего вытекает

что невозможно. Полученное противоречие показывает, что

для некоторого и, следовательно, . Лемма доказана.

Лемма [4]. Пусть

– наследственная локальная формация, – такая нормальная подгруппа группы , что . Тогда равносильно .

Доказательство. Пусть

. Тогда , и если – произвольная максимальная подгруппа , то , а значит, и принадлежит . Следовательно, .

Предположим теперь, что

. Понятно, что .Пусть – произвольная максимальная подгруппа , тогда . Пусть – произвольный -главный фактор из . Обозначим . Пусть – максимальный внутренний локальный экран формации , и пусть . Так как , то . Покажем, что . По лемме 8.7 из [6] формация наследственна. Следовательно, если , то сразу получим . Если же , то вытекает из изоморфизма . Итак, всякий -главный фактор из , -централен в . Значит, . Таким образом, . Лемма доказана.