Решетки субнормальных и f-субнормальных подгрупп (стр. 5 из 15)

Доказательство. 1) Пусть

– минимальная нормальная подгруппа из такая, что . Очевидно, что . Противоречие. Итак, – минимальная нормальная подгруппа . Так как – формация, то, нетрудно заметить, что – единственная минимальная нормальная подгруппа из . А это значит, что

Отсюда следует, что

2) Выше мы показали, что

– главный -фактор. Покажем, что – -группа. Предположим противное. Пусть простое число делит , но не делит . По лемме 4.4 из [5] , где – содержащаяся в силовская -подгруппа из . Тогда

Отсюда и из насыщенности

получим . Но тогда , что невозможно.

Пусть

– главный фактор группы . Ввиду 2) является -группой и . Следовательно, каждая -абнормальная масимальная подгруппа группы является -нормализатором группы . Так как -нормализатор группы покрывает только -центральные главные факторы, то мы получаем, что -гиперцентральна в . Согласно следствию 9.3.1 из [5] . Отсюда следует, что , т.е. .

Обозначим через

коммутант группы . Так как – -корадикал группы , то по теореме 11.6 из [5] каждый главный фактор группы на участке от до -эксцентрален. Отсюда и из -гиперцентральности заключаем, что . Так как

то мы получаем тaкже рaвенство

. Таким образом, утверждения 2) – 6), 9) доказаны.

Докажем 7). Предположим, что

неабелева. Пусть – произвольный элемент из . Ввиду 4) , причем . Следовательно,

для всех элементов

, из . Это означает, что имеет экспоненту . Учитывая это и то, что содержится в , получаем для любых , из при :

Значит, отображение

является -эндоморфизмом группы . Так как

то

-гиперцентральна в . Вспоминая, что – -эксцентральный главный фактор, получаем равенство . Так как имеет экспоненту , то утверждение 7) при доказано.

Пусть

. Тогда

где

. Рассматривая отображение как и выше получаем, что . Значит имеет экспоненту не больше 4.

Докажем 8). Выше мы доказали, что

. Пусть . Тогда в найдется такая максимальная подгруппа , что . Так как , то . Отсюда . Противоречие. Итак, . По теореме 9.4 из [5] имеем для любой -абнормальной максимальной подгруппы группы . Нетрудно показать, что .