Решетки субнормальных и f-субнормальных подгрупп (стр. 4 из 15)

Теорема. Пусть

– некоторое непустое множество субнормальных подгрупп группы , удовлетворяющее следующим условиям:

1) если

и , то ;

2) если

, , , , то .

Тогда

для любой подгруппы .

Доказательство. Возьмем произвольную подгруппу

из . Если не нормальна в , то по теореме 1.4 найдется такой элемент , что , , . По условиям 1) и 2) , . Если не нормальна в , то найдется такой, что , , . Тогда и . Если не нормальна, то описанную процедуру применяем к . Так как конечна, то этот процесс завершится построением нормальной подгруппы , представимой в виде , где – некоторые элементы из . Очевидно, , и теорема доказана.

Следствие. Если

– непустой радикальный класс, то содержит все субнормальные -подгруппы группы .

Доказательство. Пусть

– множество всех субнормальных -подгрупп из . Ввиду теоремы 1.12 легко заметить, что удовлетворяет условиям 1) и 2) теоремы 1.13.

Следствие. Для любой субнормальной подгруппы

группы справедливы следующие утверждения:

1) если

– -группа, то ;

2) если

нильпотентна, то ;

3) если

-нильпотентна, то ;

4) если

разрешима, то .

2. Минимальные не

-группы

Лемма [3]. Пусть

, где – локальная формация. Тогда справедливы следующие утверждения:

1) группа

монолитична с монолитом

2)

– -группа для некоторого простого ;

3)

– -эксцентральный главный фактор ;

4)

;

5) если группа

неабелева, то ее центр, коммутант и подгруппы Фраттини совпадают и имеют экспоненту ;

6) если

абелева, то она элементарна;

7) если

, то – экспонента ; при экспонента не превышает 4;

8) для любой

-абнормальной максимальной подгруппы из имеет место

9) любые две

-абнормальные максимальные подгруппы группы сопряжены в ;

10) если

и подгруппа содержит , то для любого полного локального экрана формации ;

11) если

– -абнормальная максимальная подгруппа группы и – некоторый полный локальный экран , то – минимальная не -группа и либо , либо .