Решетки субнормальных и f-субнормальных подгрупп (стр. 3 из 15)

Лемма. Если подгруппы

и субнормальны в и , топроизведение есть субнормальная подгруппа группы .

Доказательство. Если

нормальна в , то результат следует по лемме 1.9.

Предположим, что

не нормальна в , то есть . Будем считать, что теорема верна для субнормальных подгрупп с дефектом меньшим . Таким образом, если и субнормальны в причем и , то по индуктивному предположению субнормальна в .

Пусть

– каноническая субнормальная -цепь. Так как нормализует подгруппу , то для любого цепь

будет субнормальной

-цепью. По свойству канонической субнормальной -цепи , а значит, для любого , ,…, (по определеделению).

Следовательно,

содержится в для любого . Так как и , то по индукции субнормальна в . По следствию 1.7.1 субнормальна в . Так как и , то . Таким образом, , , а значит, по лемме 1.9 подгруппа субнормальна в . К тому же , то мы получаем . Лемма доказана.

Теорема. Если

и – субнормальный подгруппы группы , то есть также субнормальная подгруппа .

Доказательство. Положим

. Среди субнормальных подгрупп группы , содержащихся в , выберем подгруппу , имеющю наибольший порядок. По следствию 1.7.1 субнормальна в . Докажем, что нормальна в . Предположим противное, то есть что не нормальна в . Тогда по теореме 1.4 найдется такой элемент , что , и . Так как субнормальна в и , то субнормальна в . Получается следующая ситуация: и субнормальны в , . По лемме 1.10 субнормальна в . Ввиду выбора отсюда следует , что противоречит .

Итак,

нормальна в , а значит, и нормализуют подгруппу . По лемме 1.10 и субнормальны в . Так как и , то ввиду выбора получаем . Следовательно, , откуда вытекает, что . Теорема доказана.

Объединим теоремы 1.8 и 1.11 в один результат.

Теорема (Виландт). Множество всех субнормальных подгрупп группы

образует подрешетку решетки .

Отметим одно часто используемое приложение теорем 1.4 и 1.12.