Решетки субнормальных и f-субнормальных подгрупп (стр. 15 из 15)

где

и , то и , а значит, .

Таким образом, множество

можно разбить в объединение непересекающихся подмножеств, т.е. представить в виде , где для любых из и для . Покажем, что

Обозначим

Так как для любого

имеет место , то включение очевидно.

Допустим, что множество

непусто, и выберем в нем группу наименьшего порядка. Так как – наследственная формация, то . Группа непримарна в силу равенства и локальности формации . Из строения

и

нетрудно показать, что – группа Шмидта. Ясно, что . Тогда по теореме 26.1 из [5] , где – элементарная абелева -группа, – некоторые простые числа. Так как , то

Как показано выше,

для некоторого номера . Но тогда . Получили противоречие с выбором . Следовательно,

где

для всех .

Утверждение 2) следует из лемм 3.2 и 3.3. Лемма доказана.

Из доказанной леммы следует, что разрешимая наследственная локальная формация

тогда и только тогда обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп, когда

Заключение

В курсовой работе рассмотрены решетки субнормальных и

-субнормальных подгрупп. Для построения теории решеток -субнормальных подгруп, аналогичной теории решеток субнормальных подгрупп, разработанной Виландтом, используются свойства минимальных не -групп.

В работе рассматриваются условия, при выполнении которых формация будет обладать решеточным свойством.

Список использованных источников

1. Васильев А.Ф., Каморников С.Ф., Семенчук В.Н. О решетках подгрупп конечных групп // Бесконечные группы и примыкающие алгебраические структуры: Тр./ Институт математики АН Украины. – Киев, 1993. – С. 27–54.

2. Коуровская тетрадь (нерешенные вопросы теории групп). Новосибирск: Институт математики СО АН СССР, 1984. – 144 с.

3. Семенчук В.Н. Минимальные не

-группы // Алгебра и логика. – 1979. – Т.18, №3. – С. 348–382.

4. Семенчук В.Н. Конечные группы с системой минимальных не

-подгрупп // Подгрупповое строение конечных групп: Тр./ Ин-т математики АН БССР. – Минск: Наука и техника, 1981. – С. 138–149.

5. Шеметков Л.А. Формации конечных групп. М.: Наука. – 1978. – 267 с.

6. Шеметков Л.А., Скиба А.Н. Формации алгебраических систем. М.: Наука. – 1989. – 256 с.

7. Bryce R.A., Cossey J. Fitting formations of finite solubla groups // Math.Z. – 1972. – V.127, №3. – P.217–233.

8. Gaschьtz W. Zur Theorie der endlichen auflцsbaren Gruppen. – Math. Z., 1963, 80, №4, С. 300–305.

9. Kegel O.H. Untergruppenverbande endlicher Gruppen, die Subnormalteilorverband echt enthalten // Arch. Math. – 1978. – V.30. – P.225–228.

10. Wielandt H. Eine Verallgemeinerung der invarianten Untegruppen // Math.Z. – 1939.-V.45. – P.209–244.