Решетки субнормальных и f-субнормальных подгрупп (стр. 14 из 15)

Пусть

– группа минимального порядка из . Так как – наследственная формация и – насыщенная формация, то – минимальная не -группа и . Теперь, согласно лемме 2.3

где

– единственная минимальная нормальная подгруппа группы , причем – -группа, , а – минимальная не -группа. Как показано выше является либо группой простого порядка, либо группой Шмидта.

Пусть

– группа простого порядка. Так как , то очевидно, что . Противоречие.

Пусть

– группа Шмидта. Тогда – группа простого порядка, причем , . Так как , то очевидно, что

Отсюда следует, что

. Получили противоречие. Следовательно .

Итак,

и – полный локальный экран формации .

Покажем, что

либо для любых простых , .

Вначале докажем, что из

следует . Допустим противное. Пусть . Рассмотрим точный неприводимый -модуль над полем , который существует по лемме 18.8 из [6].

Возьмем группу

. Так как и имеет единственную минимальную нормальную подгруппу, то ввиду леммы 18.8 из [6] существует точный неприводимый -модуль над полем . Рассмотрим группу

Так как

то

. Ясно, что . Так как , то найдется такой, что . Заметим, что . Тогда

Так как

, то -субнормальна в и -субнормальна в . По лемме 3.1 . Получили противоречие. Таким образом, если , то .

Пусть теперь

. Тогда . Предположим, что найдется такое простое число , которое не принадлежит . Рассмотрим точный неприводимый -модуль над полем .

Группа

принадлежит ввиду и . Теперь рассмотрим точный неприводимый -модуль . Группа формации не принадлежит, так как . Ясно, что . Рассуждая как и выше, можно показать, что для некоторого , причем подгруппы , -субнормальны в , причем , принадлежат . Отсюда по лемме 3.1 . Получили противоречие.

Следовательно, если

, то , а значит . Более того, если