Решетки субнормальных и f-субнормальных подгрупп (стр. 11 из 15)

Будем далее считать, что

для любой минимальной нормальной подгруппы группы . Ясно, что . Если , то в силу леммы 3.1.3 субнормальна в . Но тогда ввиду [8]

Это означает, что

. Противоречие. Значит и . Аналогично доказывается, что . Итак, и .

По условию леммы

– формация Фиттинга и , . Следовательно,

Пусть

– минимальная нормальная подгруппа группы , содержащейся в . Тогда

Из наследственности формации

следует, что – -субнормальная подгруппа группы .

Итак, порождение двух

-субнормальных подгрупп и группы -субнормальна в . Ввиду леммы 2.5 – также -субнормальная подгруппа группы . Значит, формация обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп. Лемма доказана.

Лемма [1]. Пусть

– наследственная локальная формация. Если замкнута относительно расширений, то формация обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп.

Доказательство леммы следует из теоремы 5 работы [9] и теоремы 3.1.7.

Отметим, что из леммы 3.2 следует, что формации

и обладают решеточным свойством для -субнормальных подгрупп.

Пусть

обозначают некоторое подмножество множества натуральных чисел. Пусть – некоторое семейство классов групп. Обозначим через класс всех групп , представимых в виде

где

и , .

Лемма [1]. Справедливы следующие утверждения:

1) пусть

– наследственная локальная формация, обладающая решеточным свойством для -субнормальных подгрупп, . Тогда и формация обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп;

2) пусть

– некоторое семейство наследственных локальных формаций и для любых . Тогда и только тогда формация

обладает решеточным свойством для

-субнормальных подгрупп, когда для каждого формация обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп.

Пусть формация

обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп, . Ввиду леммы 3.1 и – формации Фиттинга поэтому из леммы 2.1.3 следует, что также является формацией Фиттинга.

Пусть

– -субнормальная подгруппа группы и . Ясно, что подгруппа -субнормальна в для любого . Так как и , то ввиду леммы 3.1 получаем, что и . Следовательно,