Полунормальные подгруппы конечной группы (стр. 6 из 20)

Пример 2.1.2 Нормальные и квазинормальные подгруппы являются полунормальными и любые их минимальные добавления будут супердобавлениями.

Пример 2.1.3 В симметрической группе

силовская –подгруппа является полунормальной подгруппой, но не квазинормальной.

Лемма 2.1.4 Если подгруппа

полунормальна в группе

и в группе

нет собственных добавлений к

, то

квазинормальна.

Доказательство. Так как по условию все добавления к подгруппе

совпадают с самой группой , то и супердобавлением к будет . Теперь из определения полунормальной подгруппы следует, что перестановочна со всеми собственными подгруппами группы .

Лемма доказана.

Введем следующие обозначения. Если

– подгруппа группы , то – множество всех супердобавлений к подгруппе в группе . Ясно, что в точности тогда, когда не является полунормальной подгруппой.

Пусть

и – подгруппы группы , и подгруппа нормальна в группе . Введём следующие обозначения:

– обычное теоретико множественное включение, то есть любая группа содержится в .

Запись

означает, что для любой подгруппы

существует подгруппа такая, что содержится в .

Лемма 2.1.5 Если

– полунормальная подгруппа группы

и

, то

– полунормальная подгруппа группы

и

Доказательство. Пусть

. Тогда и – собственная подгруппа группы для любой подгруппы из , отличной от . Ясно, что для любого элемента из , а так как можно считать произвольной в подгруппой, отличной от , то – собственная подгруппа группы . Поэтому полунормальна в и – супердобавление к в группе , то есть . Отсюда следует, что . Группа для любого . Так как , то , где , . Теперь . Если – подгруппа из , отличная от , то – подгруппа из , отличная от . Поэтому – собственная подгруппа группы и . Значит, для всех . Отсюда следует, что .

Лемма доказана.

Лемма 2.1.6 Если

– полунормальная подгруппа группы

и

– подгруппа, содержащая

, то

полунормальна в

и для любой подгруппы

пересечение

содержит супердобавление к подгруппе

в

.