Полунормальные подгруппы конечной группы (стр. 5 из 20)

и

Если

то

и

Обратно, пусть

где

, и . Тогда

Поскольку уже доказано, что

то

, где

Теперь

и

Следовательно,

Пусть

Тогда

делит для каждого и поэтому

делит

, т.е. . Для имеем , откуда .

Теорема доказана.

Лемма 1.6 . Если

– нормальная подгруппа конечной группы

и

– силовская

– подгруппа из

, то

.

Доказательство. Пусть

– произвольный элемент из . Так как , то и по следствию 1.4 подгруппы и сопряжены в . Поэтому, существует элемент такой, что , откуда

и

Таким образом,

.

Лемма доказана.

Лемма 1.7 Каждая подгруппа конечной группы, содержащая нормализатор некоторой силовской подгруппы, самонормализуема.

Доказательство. Пусть

– силовская подгруппа группы и – подгруппа группы , содержащая . Так как , то по лемме Фраттини

Лемма доказана.

Лемма 1.8 Пусть

–

–подгруппа конечной группы

,

и

не делит

. Тогда

Доказательство. Ясно, что

По условию подгруппа

является силовской подгруппой в . Пусть

Тогда

и по лемме Фраттини .

Лемма доказана.

Пример 1.9 Симметрическая группа

степени 6 имеет порядок . По теореме Силова содержит подгруппы порядков . Силовская 2‑подгруппа имеет порядок , силовская 3‑подгруппа имеет порядок и силовская 5‑подгруппа имеет порядок 5.

Пример 1.10 Группа порядка 15 циклическая.

Пусть

– группа порядка 15. В группе имеется подгруппа порядка 3 и подгруппа порядка 5. По следствию 1.4 число силовских 3‑подгрупп имеет вид для некоторого неотрицательного целого и делит 5. Поэтому в группе имеется только одна подгруппа порядка 3. Так как любые две силовские 3‑подгруппы сопряжены, то . Аналогично, число силовских 5‑подгрупп равно и делит 3. Поэтому . Так как и – циклические подгруппы простых порядков, то группа . Теперь для любых имеем:

поэтому

и

. Следовательно, группа абелева. Теперь ясно, что – циклическая группа.

2. Полунормальные подгруппы

2.1 Свойства супердобавлений

Определение 2.1.1 Подгруппу, обладающую супердобавлением, называют полунормальной подгруппой. Таким образом, подгруппа

группы называется полунормальной подгруппой, если существует такая подгруппа , что и – собственная подгруппа группы для каждой подгруппы из , отличной от .