Полунормальные подгруппы конечной группы (стр. 4 из 20)

Теорема доказана.

Силовской

– подгруппой конечной группы

называют такую – подгруппу, индекс которой не делится на . Непосредственно из теоремы получаем

Следствие 1.4 Пусть конечная группа

имеет порядок

, где

– простое число и

не делит

. Тогда:

существует силовская

–подгруппа и её порядок равен ;

каждая

–подгруппа содержится в некоторой силовской –подгруппе;

любые две силовские

–подгруппы сопряжены;

число силовских

–подгрупп сравнимо с единицей по модулю и делит .

Теорема 1.5 Для конечной группы

и её силовской

–подгруппы

справедливы следующие утверждения:

если

, то – силовская –подгруппа в , а – силовская –подгрупппа в ;

;

если

и , то

и

пусть

– все простые делители порядка группы , при , и пусть – соответствующие им силовские подгруппы. Тогда

а если

, то .

Д о к а з а т.е. л ь с т в о. Так как

и не делит , то – –группа, а из того, что

следует

и

не делится на . Значит – силовская –подгруппа в .

Поскольку

, то – –группа, а так как

не делится на

, то – силовская –подгруппа в .

Для

получаем

т.е.

. Обратно, если , то . Теперь и – силовские подгруппы в , которые по следствию 1.4 сопряжены в , т.е. существует элемент , такой, что . Теперь и , т.е.

Если

то

и

Если

, то пусть означает наивысшую степень , делящую порядок . По следствию 1.4 – порядок силовской –подгруппы из . Из следует, что