Полунормальные подгруппы конечной группы (стр. 3 из 20)

Случай 2. Порядок центра

группы не делится на .

Рассмотрим разложение группы

в объдинение различных классов сопряжённых элементов

где

– класс сопряжённых с

элементов. Различные классы сопряжённых элементов имеют пустое пересечение, а число элементов в классе равно индексу централизатора . Пусть

Централизатор каждого элемента из центра совпадает с группой

. И обратно, если централизатор некоторого элемента совпадает с группой, то элемент попадает в центр . Поэтому из <1> получаем

где

для каждого . Если все числа делятся на , то из <2> следует, что делится на , что противоречит рассматриваемому случаю. Итак, существует , где такое, что не делит . Поскольку то

где

– целое число и не делит . Теперь к группе применима индукция. По индукции в группе существует подгруппа порядка для каждого Эта подгруппа будет искомой для группы .

Рассмотрим разложение группы

на двойные смежные классы по подгруппам и :

Зададим отображение

переводящее элементы двойного смежного класса

в элементы произведения подгрупп и . Легко проверить, что отоюражение взаимно однозначно, поэтому, получаем

где

Так как есть подгруппа в , то по теореме Лагранжа делит и – целое число. Из <3> теперь получаем:

Сокращая обе части на

получим:

Так как

взаимно просто с , а – целое число, являющееся степенью , то в правой части <4> существует слагаемое, равное единице. Пусть например, , где . Тогда .

Пусть

и – подгруппы порядка . По существует элемент такой, что . Так как , то .

Пусть

– группа порядка – подгруппа порядка и – нормализатор подгруппы в группе . Рассмотрим разложение группы на двойные смежные классы по и :

Отображение

будет взаимно однозначным отображением

на . Теперь из <5> получаем:

Положим

. Элемент можно выбрать единичным, поэтому и . Теперь

Проверим, что под знаком суммы нет слагаемых равных 1. Допустим противное, т.е. что для некоторого

имеем равенство . Это означает, что и подгруппа содержит две подгруппы и порядка . По существует элемент такой, что . Но тогда , а так как , то и . Но это возможно только при , противоречие. Значит, допущение неверно и в равенстве <6> под знаком суммы все слагаемые отличны от единицы. Поскольку каждое слагаемое есть степень простого , то из равенства <6> получаем сравнение . По все подгруппы порядка группы сопряжены между собой, а число подгрупп сопряжённых с равно . Поскольку , то делит .