Полунормальные подгруппы конечной группы (стр. 18 из 20)

Пусть

– произвольная циклическая примарная подгруппа факторгруппы . Рассмотрим произведение циклической подгруппы и произвольной силовской подгруппы . Ввиду леммы 3.1.9 существует примарный элемент такой, что . Поэтому

Аналогично проверяется перестановочность циклических примарных подгрупп из

с элементами силовского множества . Таким образом, для факторгруппы все условия леммы выполняются, а так как порядок факторгруппы меньше порядка группы , то по индукции факторгруппа будет дисперсивна по Оре.

Пусть теперь

– наибольший простой делитель порядка группы и – силовская -подгруппа подгруппы . Так как дисперсивна по Оре, то подгруппа нормальна в и . Если – некоторый примарный -элемент из , то по условию леммы. Теперь нормальная подгруппа в и -холловская подгруппа из содержится в . Поэтому . Аналогично, , поэтому силовская -подгруппа группы нормальна в группе . По индукции факторгруппа дисперсивна по Оре, а так как – наибольший простой делитель порядка группы , то группа дисперсивна по Оре.

Теорема доказана.

Пусть

и – подгруппы группы . Будем говорить, что квазинормальна в , если перестановочна с каждой подгруппой из . Тогда можно сформулировать следующий результат, вытекающий из леммы 3.2.1.

Следствие 3.2.2. Пусть

и

– дисперсивные по Оре подгруппы группы

такие, что

. И пусть

квазинормальна в

и

квазинормальна в

. Тогда группа

дисперсивна по Оре.

Теорема 3.2.3 Пусть

,

– сверхразрешимые подгруппы группы

. И пусть

и

– силовские системы подгрупп

и

, и

. Если циклические примарные подгруппы из

–квазинормальны и циклические примарные подгруппы из

–квазинормальны, то группа

сверхразрешима.

Доказательство. Допустим, что теорема неверна. Тогда существует несверхразрешимая группа

наименьшего порядка, для которой все условия теоремы верны.

Проверим, что если

– силовская система группы , то – силовская система факторгруппы . Пусть – силовская система группы и – нормальная подгруппа группы . Отметим, что по определению силовской системы для всех подгрупп из . Тогда в факторгруппе рассмотрим множество подгрупп . По лемме 3.1.4 является силовской подгруппой факторгруппы . Возьмём две произвольные подгруппы и из множества . Рассмотрим их произведение