Полунормальные подгруппы конечной группы (стр. 16 из 20)

Доказательство. Пусть

– силовское множество группы . Рассмотрим множество , в котором может оказаться более одной единичной подгруппы, но в этом случае следует оставить только одну единичную подгруппу. Кроме множество включает силовские подгруппы факторгруппы по лемме 3.1.4. Следовательно, есть силовское множество факторгруппы .

Пусть

– силовское множество группы . Из равенства и из того, что по предыдущей лемме является силовской подгруппой в группе получаем, что есть силовское множество в .

Теперь пусть в факторгруппе

известно силовское множество . Тогда существуют силовские подгруппы такие, что для . Рассмотрим простые числа . Для всех таких простых чисел существуют силовские –подгруппы , где . Теперь будет силовским множеством группы . И выполняется равенство

Если

– силовское множество нормальной группы , то по предыдущей лемме и по теореме Силова найдутся силовские –подгруппы группы , для , такие, что . Теперь рассмотрим все простые числа и для каждого такого простого числа в группе возьмем по одной силовской –подгруппе . Теперь будет силовским множеством группы и .

Рассмотрим

– силовское множество группы и гомоморфизм группы в группу . По принятому обозначению . По свойствам гомоморфизма подгруппа будет силовской подгруппой группы . То есть есть силовское множество группы .

Лемма доказана.

Лемма 3.1.6 Пусть

– силовское множество группы

и

–

–квазинормальная подгруппа группы

. Тогда верны следующие утверждения:

если

– гомоморфизм группы , тогда подгруппа –квазинормальна в группе ;

если

и – нормальная подгруппа группы , то подгруппа –квазинормальна в группе ;

если

– произвольная нормальная подгруппа группы , то в факторгруппе подгруппа будет –квазинормальной.

Доказательство. По лемме 3.1.5 множество

является силовским множеством группы . Так как для , то имеем и есть -квазинормальная подгруппа в .

По лемме 3.1.5 множество

будет силовским множеством группы . Так как – подгруппа группы , то – подгруппа группы . Поэтому .

По лемме 3.1.5 множество

будет силовским множеством факторгруппы . И на основании равенства получаем перестановочность подгруппы с подгруппами силовского множества факторгруппы .