Полунормальные подгруппы конечной группы (стр. 11 из 20)

Теорема доказана.

Следствие 2.3.2 Если в группе

все силовские подгруппы обладают супердобавлениями, то

дисперсивна по Оре.

Доказательство сразу вытекает из предыдущей леммы и определения дисперсивной по Оре группы.

Следствие 2.3.3 Если в группе

все силовские подгруппы имеют супердобавления, то

сверхразрешима.

Доказательство. Из теоремы 2.3.1 вытекает, что группа

дисперсивна по Оре. Пусть – силовская -подгруппа для наибольшего простого делителя порядка группы и пусть и . По условию , где – силовская -подгруппа в , – ее супердобавление. Пусть – силовская -подгруппа из . Так как – силовская -подгруппа в , то полунормальна в . По лемме 2.1.6 полунормальна в , то есть , где – супердобавление к в . По лемме 2.1.8 произведение является полунормальной в подгруппой и , причем есть супердобавление к в . Через шагов получим, что – полунормальная в подгруппа, где – силовская -подгруппа для . Ясно, что и .

Пусть

– подгруппа простого порядка из , нормальная в . Из того, что полунормальна в следует, что – подгруппа группы . Так как , то и . Итак, в группе имеется нормальная подгруппа простого порядка . По лемме 2.1.6 условие доказываемого утверждения распространяется и на факторгруппу . По индукции сверхразрешима. Теперь сверхразрешима.

Следствие доказано.

Следствие 2.3.4 Пусть

– группа и

– такое множество простых чисел, что

для любых

и

. Если в группе

силовская

–подгруппа обладает супердобавлением для всех

, то

–замкнута и ее

–холловская подгруппа сверхразрешима.

Доказательство. Пусть

– силовская –подгруппа для наибольшего простого . Тогда – наибольший простой делитель порядка группы и по теореме 2.3.1 подгруппа нормальна в . По индукции –замкнута, поэтому –замкнута и в есть –холловская подгруппа , которая сверхразрешима по следствию 2.2.2.

Следствие доказано.

Определение 2.3.5 Конечную группу

будем называть

–разрешимой, если каждый из ее композиционных факторов является либо –группой порядка либо –группой.