Разрешимость конечных групп (стр. 9 из 16)

Так как

и - группа нечетного порядка, то нечетен, значит . Следовательно, изоморфна некоторой группе автоморфизмов подгруппы . Но имеет подгруппу индекса 1 или 2, причем , где - циклическая группа автоморфизмов поля . Порядок нечетен, поэтому . Теперь, и , где - циклическая группа нечетного порядка и делит число .

Для указанных

имеет место равенство . Поэтому и . Значит, абелева. ввиду леммы 1 из .

Предположим, что

. Тогда и . Группа не изоморфна , так как в нет дополнения к силовской 2-подгруппе. Если , где или , то и . Ядро представления группы подстановками множества смежных классов по подгруппе содержится в , поэтому равно 1. Значит, изоморфна подгруппе симметрической группы четырех символов, поэтому разрешима. Противоречие.

Следовательно,

. Группа имеет порядок и каждый элемент из является автоморфизмом мультипликативной группы порядка , поэтому

где

- функция Эйлера. , поэтому

Пусть

. Тогда

(, стр.178). Так как

и - группа нечетного порядка, то (, стр.213). Теперь из получаем , что противоречит . Значит, не изоморфна .

Пусть

, где или и . Тогда и

(, стр.178). Так как

- подгруппа нечетного порядка группы , то

(, стр.213). Но

и нечетен. Поэтому, если делится на 4, то , а если не делится на 4, то , где - простое число и . Следовательно, . Теперь из , учитывая , получаем

что противоречит

. Теорема доказана.

Теорема 2. Если группа

, где

- нильпотентная

-подгруппа с модулярными силовскими, а

-

-разложимая подгруппа и

, то

разрешима.

Доказательство. Пусть группа

- контрпример минимального порядка. Так как недедекиндова , то некоторая силовская подгруппа из группы недедекиндова.