Из доказанной леммы вытекает лемма 1 А.В. Романовского .
Теорема 1. Если группа
, где подгруппы
и
2-разложимы с модулярными силовскими 2-подгруппами, то
разрешима. Доказательство. Допустим, что группа

- - - контрпример минимального порядка. Для доказательства теоремы достаточно отыскать в

нетривиальную разрешимую инвариантную подгруппу. Действительно, если

такая подгруппа, то фактор-группа

разрешима по индукции, а значит, разрешима и

.
Пусть

- собственная подгруппа группы

, содержащая один из факторов, например

. Применяя модулярное тождество , получаем, что

. Так как

, то подгруппа

разрешима. Следовательно, каждая собственная подгруппа группы

, содержащая один из факторов, разрешима.
Рассмотрим вначале случай, когда

и

являются

-группами, т.е. когда

. Пусть

- подгруппа, порожденная всеми сопряженными с

подгруппами из

. Если

, то

разрешима, поэтому разрешима в

, противоречие. Значит,

. Фактор-группа

нечетного порядка, поэтому

. Применяя лемму, получаем, что

есть 2-группа, противоречие.
Следовательно, один из факторов, пусть

, имеет нечетный порядок. Теперь

совпадает с некоторой силовской 2-подгруппой

группы

, т.е.

. Если

недедекиндова, то

имеет подгруппу

индекса 2 (, стр.58). Так как

(в противном случае

содержит подгруппу индекса 2, что невозможно), то

разрешима, противоречие.
Таким образом,

дедекиндова. В этом случае, не ссылаясь на работы (,), но используя некоторые их идеи, мы дадим, как нам кажется, более прозрачное доказательство разрешимости группы.
Если

гамильтонова, то по следствию 7 из в

существует разрешимая инвариантная подгруппа, противоречие. Значит,

абелева. Пусть

- произвольная инволюция из группы

. Так как

, где

,

,

, то

. Подгруппа

абелева, поэтому централизатор

и

разрешим. Следовательно, в

силовская 2-подгруппа абелева и централизатор каждой инволюции разрешим.
Пусть

- минимальная инвариантная подгруппа группы

. Тогда

неразрешима и есть прямое произведение

простых изоморфных групп. Очевидно,

, поэтому

. Так как

нечетен, то

, и

совпадает с одной из силовских 2-подгрупп

группы

, т.е.

. Если

, то нормализатор

неразрешим, где

- силовская 2-подгруппа прямого сомножителя

и

. Но

, поэтому

содержит

, а значит, разрешим, противоречие. Следовательно,

и

- простая группа. Так как силовская 2-подгруппа из

абелева и централизатор каждой инволюции разрешим, то по теореме из группа

, где

или

и

или

.