Следствие.1. Если
- нильпотентная
-холловская подгруппа
-обособленной группы
и
, то
. Следствие.2. Если
-
-холловская подгруппа
-обособленной группы
, то
.
3. К двум теоремам ведерникова В двух теоремах работы В.А. Ведерникова (см. также ) рассматриваются произведения 2-разложимых групп специальных видов. Первая теорема утверждает, что группа

разрешима, если подгруппы

и

2-разложимы с дедекиндовыми силовскими 2-подгруппами. Позже этот результат В.А. Ведерникова повторили Скотт и Гросс . Вторая теорема устанавливает разрешимость группы

, если

дедекиндова, а

2-разложима.
Результаты настоящей заметки обобщают первую теорему и дополняют вторую. Оказалось, что в первой теореме требование дедекиндовости силовских 2-подгрупп можно ослабить до модулярности. Во второй теореме требование дедекиндовости подгруппы

можно заменить следующим:

- холловская нильпотентная подгруппа с модулярными силовскими.
В дальнейшем используются следующие обозначения и определения:

всегда конечная группа порядка

; если

- подгруппа группы

, то

- некоторая силовская

-подгруппа из

,

,

- подгруппа, порожденная всеми сопряженными с

подгруппами из

;

- некоторое множество простых чисел.
Группа называется

-разложимой, если она разлагается в прямое произведение своих силовской

-подгруппы и силовского

-дополнения .
Группа называется

-разложимой, если она

-разложима для каждого

.

-специальной группой называется группа, силовская

-подгруппа которой инвариантна .
Понятие модулярной группы можно найти в . Там же доказано, что

-группа модулярна тогда и только тогда, когда любые ее две подгруппы перестановочны. Поэтому свойство модулярности

-группы наследуется не только ее подгруппами, но и фактор-группами. Очевидно, что дедекиндова группа, т.е. группа, у которой все подгруппы инвариантны, является модулярной.
Лемма 1. Если группа
, где
и
-
-специальные подгруппы и
, то
есть
-группа. Доказательство. Так как

(, стр.676), то для каждого

, где

,

, имеем:

Выберем наибольшую

-подгруппу

из группы

, содержащую

и перестановочную с

для любого

. Но

, поэтому и

. Покажем, что

инвариантна в

. Допустим противное, т.е. что существует такой элемент

, что

. Очевидно, мы можем считать

принадлежащим

для некоторого

из

. Если

- произвольный элемент из группы

, то

и поэтому

, т.е.

перестановочна со всеми подгруппами, которые сопряжены с

в группе

. Значит, и группа

, порожденная подгруппами

и

, перестановочна с

для каждого

. Теперь

есть

-группа. Подгруппа

есть собственная подгруппа группы

и

. Получили противоречие с выбором

. Следовательно,

инвариантна в

. Так как

, то

есть

-группа.

, поэтому

. Но и

, значит,

есть

-группа. Лемма доказана.