Разрешимость конечных групп (стр. 6 из 16)

Пусть теперь

, а . Обозначим через минимальную нормальную в подгруппу. Поскольку - либо -группа, либо -группа, а , то - -группа и . Поэтому - нормальная в -группа. Если , то - -группа по лемме 1, что противоречит тому, что . Следовательно, и .

Предположим, что

- собственная в подгруппа. Тогда - -обособленная группа с -холловской подгруппой и . По индукции , а так как нормальна в , то . Таким образом, , что противоречит .

Следовательно,

, т.е. содержится в центре . Но тогда и . Для фактор-группы теорема верна, поэтому . Поскольку - центральная подгруппа и не принадлежит , то и . Значит, , что и требовалось доказать.

Напомним, что

-нильпотентной называют конечную группу, обладающую нормальной -холловской подгруппой, фактор-группа по которой нильпотентна. Через обозначается наибольшая нормальная -нильпотентная подгруппа конечной группы , а через - подгруппа Фиттинга группы .

Теорема 3. Если

-

-холловская подгруппа конечной

-обособленной группы

и

, то

.

Доказательство. Ясно, что

, а, значит, . Обратное включение проверим индукцией по порядку группы.

Предположим, что

, т.е. , а . Минимальная нормальная в подгруппа содержится в . Далее, - нормальная в -группа. Так как не может быть -группой, то по лемме 1 и . Подгруппа нормальна в , поэтому - -холловская подгруппа -обособленной группы и . Подгруппа характеристична в , поэтому она нормальна в и .

Если

- собственная в подгруппа, то по индукции , т.е. , а значит, и . Противоречие.

Следовательно,

и содержится в центре . Теперь , где . Если , то , где - -подгруппа. Поэтому нормальна в , что невозможно. Итак, и для фактор-группы теорема верна. Значит, и , где - силовская -подгруппа из . Так как нормальна в , то нормальна в и . Теорема доказана.