Пусть теперь

, а

. Обозначим через

минимальную нормальную в

подгруппу. Поскольку

- либо

-группа, либо

-группа, а

, то

-

-группа и

. Поэтому

- нормальная в

-группа. Если

, то

-

-группа по лемме 1, что противоречит тому, что

. Следовательно,

и

.
Предположим, что

- собственная в

подгруппа. Тогда

-

-обособленная группа с

-холловской подгруппой

и

. По индукции

, а так как

нормальна в

, то

. Таким образом,

, что противоречит

.
Следовательно,

, т.е.

содержится в центре

. Но тогда

и

. Для фактор-группы

теорема верна, поэтому

. Поскольку

- центральная подгруппа и

не принадлежит

, то

и

. Значит,

, что и требовалось доказать.
Напомним, что

-нильпотентной называют конечную группу, обладающую нормальной

-холловской подгруппой, фактор-группа по которой нильпотентна. Через

обозначается наибольшая нормальная

-нильпотентная подгруппа конечной группы

, а через

- подгруппа Фиттинга группы

.
Теорема 3. Если
-
-холловская подгруппа конечной
-обособленной группы
и
, то
. Доказательство. Ясно, что

, а, значит,

. Обратное включение проверим индукцией по порядку группы.
Предположим, что

, т.е.

, а

. Минимальная нормальная в

подгруппа

содержится в

. Далее,

- нормальная в

-группа. Так как

не может быть

-группой, то

по лемме 1 и

. Подгруппа

нормальна в

, поэтому

-

-холловская подгруппа

-обособленной группы

и

. Подгруппа

характеристична в

, поэтому она нормальна в

и

.
Если

- собственная в

подгруппа, то по индукции

, т.е.

, а значит, и

. Противоречие.
Следовательно,

и

содержится в центре

. Теперь

, где

. Если

, то

, где

-

-подгруппа. Поэтому

нормальна в

, что невозможно. Итак,

и для фактор-группы

теорема верна. Значит,

и

, где

- силовская

-подгруппа из

. Так как

нормальна в

, то

нормальна в

и

. Теорема доказана.