Разрешимость конечных групп (стр. 5 из 16)

Пример группы

, где - автоморфизм порядка 5, указывает на то, что субнормальность подгруппы в теореме 1 отбросить нельзя.

Отметим, что следствие теоремы 1 в случае

известно (см., например, , с.22).

Теорема 2. Если

-

-холловская подгруппа конечной

-обособленной группы

, то

для любого подмножества

из

.

Результат теоремы 2 является новым и в случае, когда множество

одноэлементно.

Лемма 1. Если

- минимальная нормальная подгруппа конечной группы

, а

- нормальная в

неединичная подгруппа, то

.

Доказательство. Достаточно вспомнить, что

- прямое произведение изоморфных простых групп.

Лемма 2. Если

- нормальная

-подгруппа конечной группы

, то

для каждой

-подгруппы

из

.

Доказательство. Ясно, что выполняется включение

. Проверим обратное включение.

Если

, то . Так как и - -холловские подгруппы -обособленной группы , то для некоторого . Поэтому и , т.е. равенство доказано.

Лемма 3. Если

- конечная

-обособленная группа и

, то

.

Доказательство. Пусть

- формация -замкнутых групп. Тогда -радикал группы совпадает с . По теореме Л.А. Шеметкова фактор-группа имеет единичный -радикал. Из -обособленности теперь следует, что , т.е. .

Лемма 4. Пусть

-

-автоморфизм конечной

-группы

. Если

- субнормальная в

подгруппа и

, то

.

Доказательство. См. , с. 19, лемма 2.2

Доказательство теоремы 1. Воспользуемся индукцией по порядку группы. Проверим, что

.

Пусть

. Тогда для фактор-группы и ее -подгруппы , субнормальной в -холловской подгруппе , где - -холловская подгруппа в , теорема верна. Поэтому . Поскольку , то

Отметим, что последнее равенство справедливо по лемме 2. Следовательно,

.

Итак,

. Пусть , a . Ясно, что есть -подгруппа, в которой субнормальна. На действует -группа , причем и . По лемме 4 получаем, что , т.е. . Теперь по лемме 3. Теорема доказана.

Доказательство теоремы 2. Воспользуемся индукцией по порядку группы

. Пусть . Ясно, что , поэтому и . Если , то для фактор-группы теорема верна, а поэтому . Поскольку , то .