Допустим, что

не содержится в

. Тогда

- собственная в

подгруппа и

. Так как

и

-

-группа, то

- группа, нечетного порядка. Подгруппа

имеет порядок

и

- простое число. Поэтому

и теперь

, а фактор-группа

будет разрешимой как произведение двух нильпотентных подгрупп. Противоречие.
Следовательно,

содержится в

и из самоцентрализуемости

и нильпотентности

получаем, что

-

-группа для наибольшего простого

, делящего порядок

. Из теоремы 2.1 получаем, что

, a

. Но теперь

- подгруппа непримарного индекса. Поэтому она сверхразрешима, а так как ее порядок равен

, то

нильпотентна, и опять

не самоцентрализуема. Противоречие. Теорема доказана полностью.
Доказательство следствия. Пусть

- конечная неразрешимая группа, в которой все подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы. Если

- несверхразрешимая в

подгруппа, то

, где

- простое число. Теперь

для силовской

-подгруппы

из

, т.е. группа

удовлетворяет условию теоремы. Поэтому

или

, где

- нильпотентная группа. Если

, то в

имеется несверхразрешимая подгруппа

индекса

. Так как этот индекс должен быть примарен, то

или

, поэтому

или

, а

- либо

-группа, либо

-группа. Если

. то в

имеется несверхразрешимая подгруппа Шмидта порядка 24, а ее индекс равен

и должен быть примарным, т.е.

должна быть

-группой. Следствие доказано.
2. О нормальных подгруппах конечных
-обособленных групп Пусть

- некоторое множество простых чисел, а

- дополнение к

во множестве всех простых чисел. Конечная группа называется

-обособленной или

-разрешимой , если каждый ее главный фактор является либо

-группой, либо

-группой. В силу теоремы Фейта-Томпсона о разрешимости групп нечетного порядка каждая конечная

-обособленная группа либо

-разрешима, либо

-разрешнма. Поэтому для

-обособленной группы справедливы

- и

-силовские теоремы . Отметим только, что

-обособленная группа не обязана быть

-обособленной, где

. Через

обозначается наибольшая нормальная

-подгруппа конечной группы

, а через

- совокупность всех простых делителей порядка

.
Теорема 1. Если
-
-подгруппа, субнормальная в некоторой
-холловской подгруппе конечной
-обособленной группы
, то
. Следствие. Если
- конечная
-обособленная группа с нильпотентной
-холловской подгруппой, то
для любой
-подгруппы
.