Разрешимость конечных групп (стр. 2 из 16)

Ф. Холл установил строение конечной группы, у которой все подгруппы дополняемы (, , с.291). Поскольку в каждой конечной группе любая подгруппа обладает добавлением, то аналогичная задача относительно добавлений охватывает класс всех конечных групп. Однако при дополнительных ограничениях, на добавления или на добавляемые подгруппы можно выделять разнообразные классы групп.

В настоящей заметке описаны неразрешимые конечные группы с нильпотентным и добавлениями к несверхразрешимым подгруппам. К этому классу групп относятся, в частности, и конечные группы с примарными индексами несверхразрешимых подгрупп. Доказывается

Теорема 1. Конечная неразрешимая группа с нильпотентными добавлениями к несверхразрешимым подгруппам изоморфна

или

, где

- нильпотентная группа, а

и

- простые числа.

Следствие. Конечная неразрешимая группа, в которой все, подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы, изоморфна

или

, где

- 5-группа, либо

, где

- 3-группа.

Отметим, что конечные группы с нильпотентными подгруппами непримарного индекса изучены С.С. Левищенко . Среди них нет неразрешимых групп.

Рассматриваются только конечные группы. Все встречающиеся обозначения и определения стандартны, их можно найти в , .

Нам потребуется следующая

Лемма 1. Пусть в конечной группе

каждая несверхразрешимая подгруппа обладает нильпотентным добавлением. Тогда в любой подгруппе и в любой фактор-группе группы

каждая несверхразрешимая подгруппа обладает нильпотентным добавлением.

Доказательство. Пусть

- произвольная подгруппа конечной группы , и пусть - несверхразрешимая подгруппа из . В группе существует нильпотентное добавление к подгруппе . Поэтому , а . Теперь - нильпотентна, и к можно взять нильпотентное добавление в подгруппе .

Пусть

- нормальная в подгруппа, и - несверхразрешимая в подгруппа. Тогда несверхразрешима, и существует нильпотентная подгруппа такая, что . Теперь нильпотентна и , т.е. к подгруппе можно найти в нильпотентное добавление.

Доказательство теоремы 1. Пусть

- конечная неразрешимая группа с нильпотентными добавлениями к несверхразрешимым подгруппам. Так как не 2-нильпотентна, то в существует 2-замкнутая подгруппа Шмидта , где - нормальная в силовская 2-подгруппа, подгруппа - циклическая (, с.434). Поскольку не является сверхразрешимой, то существует нильпотентная подгруппа такая, что . С учетом четности порядка из теоремы 2.8 заключаем, что фактор-группа изоморфна или , где - некоторое простое число, а - наибольшая разрешимая нормальная в подгруппа. Кроме того, , a . Здесь и - элементарная абелева и циклическая подгруппы порядка . Из теоремы 2.10 получаем, что - простое число.

В случае, когда

и - простые числа в простой группе , каждая несверхразрешимая подгруппа изоморфна группе . Последняя подгруппа имеет в циклическое дополнение . Поэтому группа в случае, когда и - простые числа, удовлетворяет условию теоремы.

Проверим, что группа

не удовлетворяет условию теоремы. Пусть . Известно, что - нормальная в подгруппа, a - циклическая группа порядка . Для силовской 2-подгруппы из имеем . Теперь . Поскольку и - простые числа, то в существует подгруппа порядка . Для подгруппа 2-замкнута, и внешний автоморфизм не централизует силовскую 2-подгруппу, поэтому несверхразрешима. Так как в нет нильпотентной подгруппы порядка , то не удовлетворяет условию теоремы при . Если , то в для подгруппы Шмидта, изоморфнойт знакопеременной группе степени 4, должна найтись нильпотентная подгруппа порядка, делящегося на 10. Но такой нильпотентной подгруппы в нет.