Разрешимость конечных групп (стр. 15 из 16)
Если
, то 
, и ясно, что 
обладает 2-замкнутым коммутантом. Кроме того, 
и 
имеет в 
нечетный индекс. По индукции 
разрешима, но тогда и 
разрешима. Противоречие. Поэтому 
. Аналогично 
. Следовательно, 
, а так как 
и 
нормальна в 
, то 
и изоморфна подгруппе из 
. Ясно также, что 
- единственная минимальная нормальная в 
подгруппа.Если
, то 
и по лемме Чунихина 
. Противоречие. Итак 
. Аналогично 
. Теперь силовская 2-подгруппа 
будет изоморфна подгруппе из 
, поэтому 
абелева. По теореме Бендера (, с.52) индекс 
в нечетен и 
изоморфна одной из следующих групп: 
, 
и 
, группе Янко 
порядка 175560, группе Ри.Так как
, то 
. Кроме того, 
и 
, поэтому 
. Следовательно, для некоторых нечетных 
и 
имеем: 
, 
и 
.Пусть
, 
и 
- проекции подгрупп 
, 
и 
соответственно в 
. Каждые элементы 
и 
единственным образом можно представить в виде 
, 
, где 
, 
, 
. Очевидно, что 
, а так как 
, то 
и 
. Таким образом, 
. Аналогично 
для всех 
. Подгруппа - силовская в , поэтому 
, где проекция - силовская 2-подгруппа в группе .Известно, что в
и в группе 
силовская 2-подгруппа не нормализует ни одну примарную подгруппу нечетного порядка >1 (см. работы ). Поэтому изоморфизм с 
или 
исключается.Пусть
изоморфна 
, 
или группе Ри. В этих группах подгруппы нечетных порядков, нормализуемые силовской 2-подгруппой, сопряжены подгруппами из абелевой холловской подгруппы (, с.213, , с.53). Значит, существуют элементы 
и 
такие, что 
для каждого 
. Теперь для элементов 
и 
и для любых 
, 
, 
, 
имеем: 
. Таким образом, 
. Так как 
, то 
, причем 
нормальна в 
. По индукции 
разрешима и по лемме Чунихина 
. Противоречие. Теорема доказана.Следствие 1. Конечная группа, являющаяся произведением двух сверхразрешимых подгрупп нечетных индексов, 2-нильпотентна.