Доказательство. Воспользуемся индукцией по порядку группы

. Ясно, что

и по лемме 2

есть

-группа, a

-

-группа. Ввиду леммы 2 можно считать, что

, и выбрать

. Из леммы 3 следует, что

,

.
Предположим, что

- силовская в

. Тогда

и

, т.е.

делит

. Это возможно лишь при

и

. Противоречие. Итак

- не силовская в

. Если

не делит порядок

, то

, поэтому

и

- циклическая порядка, делящего

. В частности, силовская 2-подгруппа в

- циклическая. Противоречие. Следовательно,

делит порядок

.
Допустим, что

максимальна в

. Так как

, то представление

перестановками смежных классов по

будет точным степени

и

будет примитивной группой с разрешимой нормальной

-подгруппой

. По теореме II.3.2

и

. Поэтому

изоморфна подгруппе из

и

делит

. Так как

делит

, то

делит

и

. Противоречие.
Следовательно,

немаксимальна в

. Представление группы

перестановками правых смежных классов по подгруппе

- точное степени

. Поэтому

можно считать транзитивной импримитивной группой перестановок. Все области импримитивности имеют одну длину

и их

штук. Поэтому

обладает нормальной подгруппой

, оставляющей все области импримитивности неподвижными, и фактор-группа

изоморфна подгруппе из

. Так как

, то

делит порядок

и в

есть перестановка порядка

. Но каждая перестановка из

разбивается на непересекающиеся циклы длины

, поэтому нет в

перестановки порядка

. Противоречие. Теорема доказана.
Теорема 3. Пусть группа
, где
и
- подгруппы нечетных индексов. Если
разрешима, а коммутант подгруппы
2-замкнут, то
разрешима и
. Доказательство. Проведем индукцией по порядку группы

. В

и в

существуют силовские 2-подгруппы

и

такие, что

и

является силовской в

. Так как индексы

и

нечетны, то

является силовской 2-подгругшой в

. Заметим, что если

разрешима, то

по лемме 2.4 (, с.101). Поэтому надо доказать лишь разрешимость группы.
Если

- нормальная в

неединичная подгруппа, то для

все условия теоремы выполняются и

разрешима. Поэтому в

нет разрешимых нормальных подгрупп и минимальная нормальная в

подгруппа

есть прямое произведение изоморфных простых неабелевых групп.