Для спорадических групп будем пользоваться обозначениями и информацией об их строении из обзора . Условиям леммы 1 удовлетворяют следующие спорадические группы и их группы автоморфизмов:

, поэтому они не

-факторизуемы.
Пусть

и

с разрешимыми подгруппами

и

. Группа

имеет порядок

, и в

точно пять классов максимальных подгрупп:

и

. Пусть 11 делит

. Тогда

изоморфна разрешимой подгруппе из

, поэтому

или

. Если

, то

делит

и

. Противоречие. Если

, то

делит

, и так как в

нет подгрупп индекса 5, то

. Другими

-факторизациями группа

не обладает.
Подобная элементарная проверка показывает, что не

-факторизуемы следующие группы и их группы автоморфизмов:

,

,

,

,

,

,

,

,

,

.
Итак, из 26 спорадических групп только группа

-факторизуема. Теорема 1 доказана.
Лемма 2. Пусть
и
. Тогда
. Доказательство. Допустим противное, т.е.

для простого числа

, не делящего индекс

в

. Так как

для некоторых силовских

-подгрупп из

и

,

- силовская в

, то

. По лемме Чунихина

. Противоречие.
Лемма 3. Пусть
и
. Тогда
число, а индекс
в
нечетен. Если
разрешима, то силовская 2-подгруппа в
- циклическая. В частности, если
и
разрешимы, то и
разрешима. Доказательство. Предположим, что

. Тогда представление

перестановками смежных классов по подгруппе

будет точным степени

, где

. По теореме V.21.1 силовская

-подгруппа

из

имеет порядок

, a

- группа Фробениуса с ядром

и циклическим дополнением

. Так как

разрешима, то

и по лемме 2

-

-группа. Поэтому

и силовская 2-подгруппа

из

- циклическая. Но

нечетен, значит,

- силовская в

и

разрешима.
Если

, то к группе

применима индукция. Так как

, то в

силовская 2-подгруппа - циклическая.
Теорема 2. Пусть
с разрешимыми подгруппами
и
. Если
или
,
или
, где
и
- простые числа, то
разрешима.