Если

трижды транзитивна, то

или

по теореме II.3.13 , и поэтому в

должна существовать

-холловская подгруппа. Противоречие. Значит,

.
Для

подгруппа

не примитивна, поэтому

или 1. Случай

исключается теоремой 1 , а при

порядок

делится на

и

-холловская подгруппа из

содержит элемент порядка 21, что в

невозможно.
Для

порядок

равен

и

. В

нет элементов порядка 21, поэтому

не делит порядок

, и

-холловская подгруппа в

имеет порядок

и нильпотентна. Значит,

содержит перестановку с циклами длины 5, 3, 1 и

, a

. Но тогда

примитивна, а 7 не делит

. Противоречие.
Для

порядок

равен

и

. Ясно, что

делит

, а в

есть элемент порядка 15 с циклами длины 5 и 3. Так как

, то

и

содержит две орбиты:

длины 5 и

длины 3. Это означает, что

изоморфна разрешимой подгруппе из

, т.е.

изоморфна подгруппе из

. По теореме 1 порядок

делит

. Поэтому

, но

содержит транспозицию. Противоречие. Случай

рассмотрен полностью.
Для

порядок

равен

. Пусть 5 делит порядок

. Так как в

нет подгрупп порядка

и

, то

и 7 не делят

. Если 3 делит порядок

, то в

есть элемент порядка 15, что для

невозможно. Итак,

делит

и в

есть

-холловская подгруппа. Противоречие.

не является

-факторизуемой (, с 73). Порядок

равен

, и в

нет элементов порядка 10 и 15. Поэтому можно считать, что

, где

или 4, а

или 3. Если

, то

состоит из четных перестановок и

будет

-факторизуемой. Противоречие. Значит,

, а так как в

все элементы порядка 4 сопряжены, то в

нет элементов порядка 4 по лемме , и силовская 2-подгруппа в

элементарная абелева. Орбита подгруппы

имеет длину 5, поэтому

транзитивна, но не примитивна. Теперь

3-замкнута и можно считать, что

. В этом случае

и опять

. Противоречие.
Следовательно, при

группы

и

не являются

-факторизуемыми. Элементарные вычисления дают требуемые факторизации

и

.