При изучении строения факторизуемой группы

довольно часто возникает ситуация, когда

, где

- нормальная в

простая подгруппа. Имеющаяся информация о знакопеременных и спорадических группах позволяет доказать следующую теорему.
Теорема 1. (1) Среди знакопеременных и симметрических групп степени
лишь группы
и
являются,
-факторизуемыми:
. (2) Среди (двадцати шести) простых спорадических групп и их групп автоморфизмов лишь группа Матьл
является
-факторизуемой:
. Напомним, что

для

, а спорадическая группа имеет индекс 1 или 2 в своей группе автоморфизмов.
Доказательству теоремы предпошлем следующее очевидное утверждение.
Лемма 1. Пусть группа
удовлетворяет двум условиям: 1)
, где
и
- попарно различные простые числа, не делящие
; 2) в
нет бипримарных
-холловских подгрупп для каждого
. Тогда
не
-факторизуема. Доказательство теоремы 1. (1) Для

и

канонические разложения порядков

и

содержат три простых числа в первой степени . Так как

и

не обладают бипримарными холловскими подгруппами нечетного порядка (, с.177), то для указанных значений

выполняются условия леммы 1.
Пусть

, и предположим, что

с разрешимыми подгруппами

и

, где

- симметрическая или знакопеременная группа множества

. Для

порядок

имеет вид

. Так как в

нет бипримарных холловских подгрупп, то можно считать, что

делит

, а

делит

. Но

- холловская подгруппа в

- циклическая, что при

невозможно. С помощью

- холловской подгруппы одного из факторов исключаются случаи

и

.
Пусть теперь

. Зафиксируем

для

и

для

. Пусть

делит

и

- орбита подгруппы

, содержащая точки цикла длины

, а

и

. Если

, то

транзитивна и содержит цикл длины

, где

. Поэтому

примитивна, а по теореме 13.9 группа

содержит

. Противоречие. Значит,

и

. Поскольку

-кратно транзитивна, то

и

транзитивна на множествах из

элементов. По теореме подгруппа

-кратно транзитивна.