Допустим, что

- силовская подгруппа группы

. Тогда

обладает нетривиальной

-фактор-группой, где

(если

, то см. , стр.58; если

, то , стр.377). Пусть

- инвариантная подгруппа индекса

в

. Так как

разрешима, то

, где

- силовское

-дополнение в

. Но

(, стр.676), поэтому

. Теперь

и

разрешима по индукции. Так как

, то разрешима и группа

, противоречие.
Следовательно,

. Так как

есть силовская

-подгруппа группы

, то

. Если

, то

есть разрешимая подгруппа, значит, разрешима и

. Фактор-группа

разрешима по индукции, отсюда разрешима и

, противоречие. Значит,

. Теперь,

есть группа порядка взаимно простого с

, поэтому

. Применяя лемму, заключаем, что

есть

-группа.

разрешима по индукции, значит разрешима и

. Противоречие. Теорема доказана.
Теорема 3. Если
, где
- холловская нильпотентная подгруппа с модулярными силовскими, а
- 2-разложимая подгруппа, то
разрешима. Доказательство. Пусть

- множество простых делителей порядка группы

. Так как

разрешима, то в

существует холловская

-подгруппа

и холловское

-дополнение

. Поэтому

. Теперь

. Но

. С другой стороны, для любого

в

и

существуют такие силовские

-подгруппы

и

, что

. Так как

- холловская подгруппа группы

, то

и

. Поэтому

. Следовательно,

и

. Теперь

и из теоремы 2 следует разрешимость группы

.
Замечание. На примере простой группы

, допускающей факторизацию

, где

, а

, видно, что в теореме 3 нельзя отбросить требование модулярности силовских подгрупп из

.
4. Факторизуемые группы с разрешимыми факторами нечетных индексов Конечная группа

называется факторизуемой, если существуют собственные подгруппы

и

такие, что

. Если, кроме того, подгруппы

и

разрешимы, то

назовем

-факторизуемой.
Неизвестно, будет ли разрешимой

-факторизуемая группа с факторами нечетных индексов. Утвердительный ответ на этот вопрос получен в теореме 3 настоящей заметки в случае, когда коммутант одного из факторов 2-замкнут. Отсюда, в частности, вытекает разрешимость конечной группы, являющейся произведением разрешимой и сверхразрешимой подгрупп нечетных индексов. Лемма 3 и теорема 2 устанавливают разрешимость

-факторизуемой группы с "малыми" индексами факторов.
Напомним необходимые обозначения. Пусть

- подгруппа конечной группы

. Через

обозначается наибольшая нормальная в

подгруппа, содержащаяся в

, а через

- наименьшая нормальная в

подгруппа, содержащая

.

- подгруппа Фиттинга группы

, а

и

- множество простых делителей порядка

и индекса

в

соответственно.

и

- симметрическая и знакопеременная группы степени

.

и

- циклическая, элементарная абелева, кватернионная, диэдральная и полудиэдральная группы порядка

. Запись

всегда означает, что конечная группа

является произведением своих подгрупп

и

.