(3) Заключительное противоречие.
Пусть

-

-максимальная подгруппа группы

и

- максимальная подгруппа группы

. Тогда

и

. Пусть

- максимальная подгруппа группы

такая, что

является максимальной подгруппой группы

. Покажем, что

- максимальная подгруппы группы

и

- максимальная подгруппа группы

. Так как

, то

- собственная подгруппа группы

. Предположим, что в

существует подгруппа

такая, что

. Тогда из того, что

- максимальная подгруппа группы

, следует, что либо

, либо

. Если

, то

, противоречие. Используя приведенные выше рассуждения видим, что

. Следовательно,

- максимальная подгруппа в

. Рассуждая как выше, мы видим, что

и

- максимальные подгруппы группы

. Отсюда следует, что

-

-максимальная подгруппа группы

и

-

-максимальная подгруппа группы

. По условию существует элемент

такой, что

. Следовательно,

и поэтому

. Таким образом, каждая

-максимальная подгруппа группы

перестановочна с каждой максимальной подгруппой группы

. Ввиду (2) и следствия , получаем, что

, где силовская

-подгруппа нормальна в группе

. Значит,

, где

и

. Пусть

- силовская

-подгруппа и

- силовская

-подгруппа группы

. Пусть

-

-максимальная подгруппа группы

такая, что

. Так как

, то

- неединичная подгруппа. Ясно, что

-

-максимальная подгруппа группы

и

-

-максимальная подгруппа группы

. Следовательно, по условию подгруппа

-перестановочна с

, и поэтому для некоторого

мы имеем

- подгруппа группы

. Поскольку

, то

- нормальная подгруппа в группе

. Так как

, то

- нормальная подгруппа в группе

. Получили противоречие с тем, что

- минимальная нормальная подгруппа. Теорема доказана.
Для доказательства теоремы [2.3] нам понадобятся следующие две леммы.
Если все максимальные подгруппы группы
имеют простые порядки, то
сверхразрешима. Доказательство. Так как в группе

все

-максимальные подгруппы единичны, то ввиду следствия группа

либо нильпотентна, либо

, где

- подгруппа простого порядка

и

- циклическая

-подгруппа, которая не является нормальной в

подгруппой (

- различные простые числа). Предположим, что

не является нильпотентной группой. Тогда

. Поскольку

, то

- максимальная подгруппа группы

и поэтому

. Так как группа порядка

разрешима, то группа

разрешима. Значит,

- нормальная в

подгруппа и поэтому главные факторы группы

имеют простые порядки. Следовательно,

- сверхразрешимая группа. Лемма доказана.